Question

Em um sistema de equação linear, independente do valor que eu der a (x) as retas sempre vão se encontrar no mesmo ponto?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cleitinho, se as retas forem concorrentes, o sistema terá uma única solução e, assim, o sistema será possível e determinado e, como tal, "x" e "y" terão  apenas um valor.
Se as retas forem paralelas (e não coincidentes),então elas nunca se encontrarão e, assim, o sistema será impossível.
E, finalmente, se as retas forem coincidentes, elas terão infinitas soluções e, assim, o sistema será possível e indeterminado.

Vamos dar exemplos:

i) Se tivermos:

2x + y - 3 = 0
2x + y + 4 = 0

Veja que no sistema acima temos duas retas e ambas paralelas, pois se você isolar "y" vai encontrar que o coeficiente angular será idêntico (que é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y").
Então as duas retas acima NUNCA se encontrarão, pois quando você resolver o sistema vai encontrar algo como: 0 = - 7 , o que é um absurdo. E, num sistema de equações, quando você chega a um absurdo, então o sistema é IMPOSSÍVEL. E realmente, num sistema que tenha duas retas paralelas, elas nunca poderiam se encontrar. Por isso é que o sistema é impossível.
Veja o que ocorrerá quando você tentar encontrar os valores de "x" e de "y". Para isso, vamos colocar o termo independente para o segundo membro, com o que ficaremos:

2x + y = 3        . (I)
2x + y = -4      . (II)

Vamos multiplicar a expressão (I) por "-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Assim:

-2x - y = -3 --- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-1"]
2x + y = -4 --- [esta é a expressão (II) normal]
------------------------- somando membro a membro, teremos:
0 + 0 = - 7
0 = - 7 <--- Absurdo, pois "0" NÃO é igual a "-7". Quando isso ocorre é porque as retas são paralelas (e não coincidentes) e NUNCA terão um ponto de encontro.


ii) No entanto, se você tiver o seguinte sistema

2x + y - 5 = 0
3x - 2y + 8 = 0

Aí em cima temos um sistema possível e determinado, pois os valores de "x" e de "y" serão únicos no ponto d encontro entre as duas retas. E por que podemos dizer isso?
Reposta: porque os coeficientes angulares são diferentes (note que, quando você isolar "y" vai encontrar coeficientes de "x" diferentes. E quando isso ocorre é porque as retas são concorrentes).
Veja: vamos colocar o termo independente para o 2º membro em ambas as equações. Assim, ficaremos:

2x + y = 5          . (I) 
3x - 2y = - 8      . (II)

Veja: vamos multiplicar a equação (I) por "2" e, em seguida, vamos somar, membro a membro, com a expressão (II). Assim, teremos:

4x + 2y = 10 --- [esta é a expressão (I) multiplicada por 2]
3x - 2y = - 8 --- [esta é a expressão (II) normal]
------------------------------ somando membro a membro, teremos:
7x + 0 = 2 ---- ou apenas:
7x = 2
x = 2/7 <--- Este é o valor de "x" no ponto de encontro das duas retas.

Agora, para encontrar o valor de "y" iremos em quaisquer uma das expressões. Vamos na expressão (I), que é esta:

2x + y = 5 ------ substituindo-se "x" por "2/7" teremos:
2*(2/7) + y = 5
4/7 + y = 5 ----- mmc, no 1º membro é 7. Assim, utilizando-o no primeiro membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

(1*4 + 7*y)/7 = 5
(4 + 7y)/7 = 5 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
4 + 7y = 7*5
4 + 7y = 35
7y = 35 - 4
7y = 31
y = 31/7 <---- Este é o valor de "y" no ponto de encontro das duas retas.

Assim, os valores de "x" e de "y" são únicos, ou seja, no ponto de encontro das duas retas do sistema teremos o ponto P(x; y) com as seguintes coordenadas:

P(2/7; 31/7).


iii) E, finalmente, se tivermos o seguinte sistema:

2x + y = 4       . (I) 
4x + 2y = 8    . (II)

Note que o sistema acima é possível e indeterminado, pois poderemos encontrar infinitas soluções. Aí você poderá perguntar: e por que você já sabe que o sistema acima é possível e indeterminado e, como tal, tem infinitas soluções.
Resposta: Veja que a equação (II) nada mais é do que a equação (I) multiplicada por "2". Quando você tentar encontrar o valor de "x" e de "y" vai encontrar algo como 0 = 0.
Veja: vamos multiplicar a equação (I) por "-2" e, em seguida, vamos somar, membro a membro, com a equação (II). Assim, teremos:

-4x - 2y = -8 --- [esta é a equação (I) multiplicada por "-2"]
4x + 2y = 8 ---- [esta é a equação (II) normal]
------------------------------- somando-se membro a membro, teremos:
0 + 0 = 0 --- ou apenas:
0 = 0 <---- Veja que isto é verdade, ou seja, não é nenhum absurdo, pois "0" é igual a "0" mesmo. Quando isso ocorre então é porque as retas são coincidentes (ou seja: são paralelas e coincidentes, pois o coeficiente angular será o mesmo) e, como tal, encontraremos infinitas soluções. E aqui, sim, qualquer que seja o valor que você der para "x" será válido.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.