Question

Em um sistema de coordenadas ortogonais no plano são dados o ponto(5, -6) e a circunferência x² + y² -25 =0. A partir do ponto (5, -6) traçam-se duas tangentes à circunferência. Faça uma figura representativa dessa situação e calcule o comprimento da corda que une os pontos de tangência .

Answer 1

ponto de tangencia ==>(a,b)

reta tangente (a,b) e (5,-6)

coeficiente angular ==>ms=(-6-y)/(5-x)

reta perpendicular a esta reta, que tem os pontos (0,0) e (x,y),

esta reta tem coeficiente angular mr

mr=(y/x)

ms* mr =-1

(-6-y)/(5-x) * (y/x) =-1

y*(-6-y)=-(5-x)*x

-6y-y²=-5x+x²

x²+y²-5x+6y=0 é uma circunferência

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completando os quadrados

(x-5/2)²-25/4 +(y+3)²-9=0

(x-5/2)² +(y+3)²=25/4+9

(x-5/2)² +(y+3)²=61/4

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Os 2 pontos de tangencia são a intersecção entre as duas circunferências.

x² + y² -25 =0 ==>x²+y²=25

x²+y²-5x+6y=0

25-5x+6y=0 ==> x= 5+6y/5

x² + y² -25 =0 ==> (5+6y/5)² + y² -25 =0

25+60y/5+36y²/25+y²-25=0

12y+36y²/25+y²=0

36y²+25y² +25*12y=0

61y²+300y=0

y *( 61y+300)=0

y=0 ==> x= 5+6y/5 =5+0=5

61y+300=0 ==>y=-300/61 ==>x= 5 + (6/5)*( -300/61)

x= 5 -360/61 =-55/61

Pontos de tangencia: ===> (5,0) e ( -55/61 -300/61)

d²=(5+55/61)²+(0+300/61)²

d²=(360/61)²+(300/61)²

d= (360/61) * √2

d= 8,3468 comprimento da corda