Question

Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos O(0,0) e A(8,0). A equação do conjunto dos pontos P(x,y) desse plano sabendo que a distância de O a P é o triplo da distância de P a A, é uma

Answer 1

Distância de O a P

$d_{OP} = \sqrt{(x - x_O)^2 + (y - y_O)^2}$

$d_{OP} = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}$

$d_{OP} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Distância de A a P

$d_{AP} = \sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}$

$d_{AP} = \sqrt{(x - 8)^2 + (y - 0)^2}$

$d_{AP} = \sqrt{(x-8)^2 + y^2}$

Fazendo a igualdade pedida:

$d_{OP} = 3 d_{AP}$

$(d_{OP})^2 = (3 d_{AP})^2$

$x^2 + y^2 = 9 [(x - 8)^2 + y^2 ]$

$x^2 + y^2 = 9[ x^2 -16x + 64 + y^2 ]$

$x^2 + y^2 = 9x^2 - 144x + 576 + 9y^2$

$-8x^2 +144x -576 - 8^y^2 = 0$

$x^2 -18x + 72 + y^2 = 0$

$x^2 - 18x + 72 + 9 + y^2 = 9$

$x^2 - 18x + 81 + y^2 = 9$

$(x - 9)^2 + y^2 = 9$

Isto é uma equação de circunferência, com centro no ponto (9, 0), e de raio 3.

Answer 2

A equação do conjunto dos pontos P = (x,y) é a circunferência (x + 9)² + y² = 9.

Dado dois pontos A = (xa,ya) e B = (xb,yb), definimos como distância entre dois pontos como sendo $d=\sqrt{(xb-xa)^2+(yb-ya)^2}$.

Primeiramente, vamos calcular as distâncias entre O e P e A e P separadamente.

Distância entre O e P

d² = (x - 0)² + (y - 0)²

d² = x² + y²

d = √(x² + y²).

Distância entre A e P

d² = (x - 8)² + (y - 0)²

d² = (x - 8)² + y²

d = √((x - 8)² + y²).

De acordo com o enunciado, a distância entre O e P é igual a três vezes a distância entre P e A.

Disto isso, temos que:

√(x² + y²) = 3√((x - 8)² + y²)

Elevando ambos os lados ao quadrado:

x² + y² = 9((x + 8)² + y²)

x² + y² = 9(x + 8)² + 9y²

9(x² + 16x + 64) + 9y² - x² - y² = 0

9x² + 144x + 576 + 9y² - x² - y² = 0

8x² + 144x + 8y² = -576

8(x² + 18x + 81) + 8y² = -576 + 648

8(x + 9)² + 8y² = 72

(x + 9)² + y² = 9.

Temos aqui uma equação de circunferência com centro no ponto B = (-9,0) e raio 3.

Para mais informações sobre circunferência, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18032202