Em um setor de uma Prefeitura, há 7 mulheres com mais de cinco anos de experiência em determinada área e há 5 homens também com mais de cinco anos de experiência nessa mesma área. O chefe desse setor pretende formar uma comissão com 5 desses servidores, com pelo menos 3 mulheres. Nesse caso, quantas comissões podem ser formadas?
A
546
B
584
C
654
D
1092
E
1169
Soluções para a tarefa
A comissão de 5 servidores pode ser formada de 546 formas diferentes, incluindo pelo menos 3 mulheres, a partir de um total de 7 mulheres e 5 homens, alternativa A está correta.
Combinação
Esta é uma questão de análise combinatória e que pode ser resolvida pelo uso da combinação, que é o método utilizado quando a ordem dos elementos não é importante. A fórmula da combinação é:
n!/p!(n-p)!, onde n representa o total de elementos e p representa a quantidade de elementos tomados p a p.
Assim, sabemos que o chefe do setor pretende formar uma comissão com 5 servidores, dos quais pelo menos 3 devem ser mulheres, sendo que há um total de 7 mulheres e 5 homens para formar esta comissão. Neste sentido, observe que existem 3 formas de formar a comissão com pelo menos 3 mulheres:
- 3 mulheres e 2 homens;
- 4 mulheres e 1 homem;
- 5 mulheres.
Sabendo disto, devemos calcular o número de combinações possíveis em cada um destes casos. Começando pelo formato 3 mulheres e 2 homens, devemos multiplicar o número de combinações possíveis para 3 mulheres pelo número de combinações possíveis de 2 homens. Assim, temos que o total de comissões possíveis será dado por:
C(7,3) × C(5,2)
7!/3!(7-3)! × 5!/2!(5-2)!
(7 × 6 × 5 × 4!)/(3 × 2 × 4!) × (5 × 4 × 3!)/2 × 3!
210/6 × 20/2
4200/12
350
Assim, descobrimos que há um total de 350 comissões possíveis de se formar com 3 mulheres e 2 homens. Agora utilizaremos o mesmo raciocínio para as comissões com 4 mulheres e 1 homem. Logo:
C(7,4) × C(5,1)
7!/4!(7-4)! × 5!/1!(5-1)!
(7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 3 × 2) × (5 × 4!)/4!
210/6 × 5
1050/6
175
Assim, descobrimos que há um total de 175 combinações possíveis de comissões formadas por 4 mulheres e 1 homem. Por fim, podemos calcular quantas comissões podem ser formadas com 5 mulheres. Logo:
C(7,5)
7!/5!(7-5)!
(7 × 6 × 5!)/5! × 2
(7 × 6)/2
42/2
21
Assim, sabemos que podem ser formadas 21 comissões com 5 mulheres. Finalmente, para descobrirmos quantas comissões podem ser formadas por pelo menos 3 mulheres, basta somar os valores obtidos acima para cada uma das situações apresentadas. Logo:
C = 350 + 175 + 21
C = 546
Descobrimos, assim, que 546 é o número de formas que uma comissão de 5 pessoas, das quais pelo menos 3 são mulheres, pode ser formada a partir de 7 mulheres e 5 homens.
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