Question

Em um restaurante, os clientes da mesa A pediram 4 almoços, 3 sucos e 2 sobremesas, gastando R$ 114,00.
Na mesa B, os clientes pediram 3 almoços, 1 suco e 2 sobremesas, gastando R$ 82,00.
Sabendo que o preço de um almoço, mais o de um suco, mais o de uma sobremesa totaliza R$ 34,00 responda:
a.) Sendo x o valor do almoço, y o valor do suco e z o valor da sobremesa, apresente um sistema com as equações lineares conforme informações dadas.
b.) Utilizando os coeficientes das incógnitas e os termos independentes desse sistema linear, apresente uma matriz completa e realize as transformações necessárias, fazendo o escalonamento da matriz completa.
c.) Apresente o valor de cada um desses itens (almoço, suco e sobremesa)

Answer 1

Escreva o sistema linear:

x = almoços, y = sucos e z = sobremesas:

$4 \cdot x + 3 \cdot y + 2 \cdot z = 114,00 \\ 3 \cdot x + 1 \cdot y + 2 \cdot z = 82,00 \\ x + y + z = 34,00$

Agora precisa resolver o sistema:

$\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&|34\\3&1&2&|82\\4&3&2&|114\end{array}\right]$

A ordem das linhas não faz diferença nenhuma. Primeiro eu vou zerar os elementos $a_{21} \quad e \quad a_{31}$ da matriz fazendo as seguintes operações:

$L_{2nova} = 3 \cdot L_1 - L_2 \\ L_{3nova} = 4 \cdot L_1 - L3$

A linha 1 permanece igual. A nova matriz ficará assim:

$\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&|34\\0&2&1&|20\\0&1&2&|22\end{array}\right]$

Agora falta zerar o elemento $a_{32}$ da matriz acima. Para isso, farei a seguinte atualização:

$L_{3nova} = \frac{1}{2} \cdot L_2 - L_3$

As linhas 1 e 2 permanecerão inalteradas. A nova matriz é:

$\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&|34\\0&2&1&|20\\0&0&\frac{-3}{2}&|-12\end{array}\right]$

Pronto, agora podemos resolver o sistema:

$\frac{-3}{2} \cdot z = -12 \rightarrow z = \frac{-12 \cdot 2}{-3} = \frac{24}{3} =8$

Com o valor de z calcula-se o valor de y:

$2 \cdot y + z = 20 \rightarrow 2\cdot y = 20 - 8 = 12 \\ y = \frac{12}{2} = 6$

Sabendo o valor de y e z, falta calcular x:

$x + y + z = 34 \rightarrow x = 34 - 6 - 8 = 20$

Assim, o preço de um almoço é 20, o suco custa 6 e a sobremesa 8.