Matemática, perguntado por lohannyliima6419, 1 ano atrás

Em um quarto no qual uma pessoa se encontra estão 12 mosquitos Aedes aegypti, dos quais 5 estão contaminados pelo vírus da dengue. Se 4 distintos mosquistos dos 12 existentes picam a pessoa, a probabilidade de ela ser picada por prlo menos um mosquito contaminado é de:

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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C_{(n,p)} \ = \ \frac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!} \\
\\
C_{(n,p)} \ \longrightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ em \ p \ vagas \\
(permuta\c{c}\~oes \ internas \ retiradas \ por \ 'p!')

Temos \ 2 \ formas \ de \ resolvermos : \ a \ pr\'atica \ e \ a \ convencional.

Forma \ pr\'atica \ \Rightarrow \\
\\
Sejam \ N \ as \ formas \ \bold{favor\'aveis}, \ K \ as \ \bold{desfavor\'aveis} \ e \ T \ as \\
formas \ \bold{totais}. \\
Como \ N \ e \ K \ s\~ao \ \bold{complementares} \ e \ formam \ o \ universo \ dos \ totais, \\
N \ + \ K \ = \ T.

Formas \ totais \ (T) \ \longrightarrow \\
\\
Vamos \ \bold{combinar} \ n \ = \ 12 \ mosquitos \ em \ p \ = \ 4 \ vagas \ : \\
\\
T \ = \ C_{(12,4)} \ \rightarrow \\
\\
T \ = \ \frac{12!}{8! \ \cdot \ 4!} \ \rightarrow \\
\\
T \ = \ \frac{\not{12} \ \cdot \ 11 \ \cdot \ 10 \ \cdot \ 9 \ \cdot \ \not{8!}}{\not{8!} \ \cdot \ \not{4} \ \cdot \ \not{3} \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 1} \ \rightarrow \\
\\
\boxed{T \ = \ 495 \ formas \ totais \ de \ se \ combinarem \ esses \ mosquitos}

Ok. \ Agora \ observe \ que, \ se \ 5 \ hospedam \ o \ v\'irus \ da \ dengue, \\

(12 \ - \ 5) \ = \ 7 \ n\~ao \ hospedam. \\
Todos \ os \ grupinhos \ formados \ por \ \bold{apenas} \ esses \ 7 \ mosquitos \ s\~ao \\
desfavor\'aveis \ \`a \ \bold{restri\c{c}\~ao} \ (embora \ seja \ 'n\~ao \ t\~ao \ ruim' \ ser \\
picado \ por \ esses \ mosquitos \ sem \ dengue, \ n\'e \ \dots enfim.)

K \ \Rightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ = \ 7 \ mosquitos \ em \ p \ = \ 4 \ vagas. \\
\\
K \ = \ C_{(7,4)} \ \rightarrow \\
\\
K \ = \ \frac{7!}{3! \ \cdot \ 4!} \ \rightarrow \\
\\
K \ = \ \frac{7 \ \cdot \ \not{6} \ \cdot \ 5 \ \cdot \ \not{4!}}{\not{3} \ \cdot \ \not{2} \ \cdot \ 1 \ \cdot \ \not{4!}} \ \rightarrow \\ 
\\
\boxed{K \ = \ 35 \ grupos \ \bold{apenas} \ com \ mosquitos \ n\~ao \ contaminados}

Por \ fim, \ sendo \ K \ = \ 35 \ e \ T \ = \ 495 : \\
\\
N \ + \ 35 \ = \ 495 \ \rightarrow \\
\\
\boxed{\boxed{N \ = \ 460 \ grupos \ com \ \bold{pelo \ menos \ 1} \ mosquito \ hospedeiro}}

Forma \ convencional \ (por \ espa\c{c}o \ eu \ farei \ mais \ 'direto') \ \Rightarrow \\
\\

Teremos \ que \ ter, \ \bold{no \ m\'inimo}, 1 \ mosquito \ contaminado \ no \ grupo \\ 
de \ 4 \ mosquitos. \ Poderemos \ ter \ \rightarrow

\longrightarrow \bold{Ou} \ 1 \ mosquito \ contaminado \ (de \ 5) \ \bold{e} \ 3 \ n\~ao \ (de \ 7) \ :

C_{(5,1)} \ \cdot \ C_{(7,3)} \ \rightarrow \\
\\
 \frac{5!}{4! \ \cdot \ 1!} \ \cdot \ \Big(\frac{7!}{4! \ \cdot \ 3!}\Big) \ \rightarrow \ (J\'a \ calculado \ = \ 35) : \\
\\
\frac{5 \ \cdot \ \not{4!}}{\not{4!} \ \cdot \ 1} \ \cdot \ 35 \ \rightarrow \\
\\
5 \ \cdot \ 35 \ = \ \boxed{175}

\longrightarrow \bold{Ou} \ 2 \ mosquitos \ contaminados \ (de \ 5) \ \bold{e} \ 2 \ n\~ao \ (de \ 7) \ :

C_{(5,2)} \ \cdot \ C_{(7,2)} \ \rightarrow \\
\\
\frac{\not{5!}}{3! \ \cdot \ 2!} \ \cdot \ \frac{7!}{\not{5!} \ \cdot \ 2!} \ \rightarrow \\
\\
\frac{7 \ \cdot \ 6 \ \cdot \ 5 \ \cdot \ \not{4} \ \cdot \ \not{3!}}{\not{3!} \ \cdot \ \not{2} \ \cdot \ 1 \ \cdot \ \not{2} \ \cdot \ 1} \ \rightarrow \\
\\
7 \ \cdot \ 6 \ \cdot \ 5 \ = \ \boxed{210}


\longrightarrow \bold{Ou} \ 3 \ mosquitos \ contaminados \ (de \ 5) \ \bold{e} \ 1 \ n\~ao \ (de \ 7) \ :

C_{(5,3)} \ \cdot \ C_{(7,1)} \ \rightarrow \\
\\
\frac{5!}{2! \ \cdot \ 3!} \ \cdot \ \frac{7!}{6! \ \cdot \ 1!} \ \rightarrow \\
\\
\frac{5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ \not{3!}}{2 \ \cdot \ 1 \ \cdot \ \not{3!}} \ \cdot \ \frac{7 \ \cdot \ \not{6!}}{\not{6!} \ \cdot \ 1} \ \rightarrow \\
\\
5 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 7 \ = \ \boxed{70}

\longrightarrow \bold{Ou} \ 4 \ mosquitos \ contaminados \ (de \ 5) :

C_{(5,4)} \ \rightarrow \\
\\
\frac{5!}{1! \ \cdot \ 4!} \ \rightarrow \\
\\
\frac{5 \ \cdot \ \not{4!}}{1 \ \cdot \not{4!}} \ = \ \boxed{5}

Temos \ ent\~ao : \\
\\
175 \ + \ 210 \ + \ 70 \ + \ 5 \ = \\
\\
 \boxed{\boxed{460 \ grupos \ com \ \bold{pelo \ menos \ 1} \ mosquito \ hospedeiro}}

Enfim, \ eu \ tinha \ esquecido \ de \ tirar \ a \ probabilidade \ \dots \ \\
ela \'e \ P \ = \ \frac{N}{T} \ \longrightarrow \\
\\
P \ = \ \frac{460}{495} \ \ \rightarrow \\
\\
\boxed{\boxed{P \ = \ \frac{92}{99} \ \approx \ 92,92\%}}

Usuário anônimo: acabei esquecendo da probabilidade... rsrs
Respondido por pedro123basso
6

Resposta:

92/99

Explicação passo-a-passo:

A resolução acima foi bem explicada, porém o não há tanto tempo para um candidato realizar apenas uma questão. Abaixo uma mais simples:

- Sabemos que há 7 mosquitos de 12 sem o vírus.

- Sabemos que haverá quatro picadas, de mosquitos distintos.

- É mais simples calcular a probabilidade de picadas de não contaminantes e subtrair de 100%.

Quatro picadas:

_._._._ --> 7/12 . 6/11 . 5/10 . 4/9 = 7/99 ( de picadas não contaminadas)

7/99 -1 = 92/99.

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