Question

em um quadrado , se o comprimento  do lado dobrar a área também dobrará?
há proporcionalidade direta entre a área e o comprimento do lado ?

Answer 1

Calculando a área de um quadrado qualquer, com um lado $\ell$, temos:

$A_{1}=\ell^{2}$

Agora, calculando a área de um quadrado com o lado igual a $2\ell$, temos:

$A_{2}=(2\ell)^{2}$

$A_{2}=4\ell^{2}$

Ou seja, a área não dobrará, quadruplicará. Agora vamos ver para um quadrado qualquer, chamando a razão de semelhança dos lados de $k$, temos:

$\dfrac{\ell_{1}}{\ell_{2}}=k\\\\ \dfrac{A_{1}}{A_{2}}=\dfrac{(\ell_{1})^2}{(\ell_{2})^2}=\left(\dfrac{\ell_{1}}{\ell_{2}}\right)^ 2=k^2$

Portanto, a razão entre as áreas de dois quadrados será igual ao quadrado da razão entre os lados destes mesmos quadrados.