Question

Em um projeto para construir uma piscina. Sabe-se que o local onde a piscina será construída é a região limitada pelos
gráde f e g, e pelas retas x = ‒ 2 e x = 2, onde f(x) = ‒ x + 5 e g(x) = x² ‒ 2, com unidade de medida graduada em metros.

a.) Utilizando o Plano Cartesiano, faça o gráfico de cada função e apresente a região da piscina conforme os dados apresentados.

b.) Trabalhando com cálculo de Integral Definida, determine a área da região ocupada pela piscina.

c.) Se a profundidade da piscina mede 1,5 m, apresente a quantidade necessária de água, em litros, para a mesma ser preenchida.

Answer 1

Boa tarde!!

a) Segue um anexo de todas as funções e retas desenhadas no Plano Cartesiano, onde a cor cinza representa a área da piscina.

b) Analisando as funções, a área em cinza é dada pela seguinte Integral Definida:

$A_p=\displaystyle\int\limits^{2}_{-2} {[-x+5 -(x^2-2)]} \, dx \\\\\\A_p=\displaystyle\int\limits^{2}_{-2} {[ -x^2-x +7]} \, dx \\\\\\A_p=\left[\dfrac{-x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+7x\right]\bigg|^2_{-2}\\\\\\A_p=\left[\dfrac{-8}{3}-\dfrac{4}{2}+14\right]-\left[\dfrac{8}{3}-\dfrac{4}{2}-14\right]\\\\\\A_p=\dfrac{-16}{3}+28\\\\\\A_p = \dfrac{-16}{3}+\dfrac{84}{3} = \dfrac{68}{3}~m^2\\\\\\A_p \approx 22,7~m^2$

c) Calculando agora o volume da piscina, considerando a profundidade de 1,5 metros temos:

$V_p = A_p\cdot1,5\\\\V_p = \dfrac{68}{3}\cdot\dfrac{3}{2}\\\\V_p = 34~m^3$

Como cada 1 m³ equivale a 1000 litros, então a quantidade necessária de água para ser preenchida é de 34000 litros.

Espero ter ajudado, bons estudos!