Question

em um projeto de segurança, simula-se um cenário para calcular as variáveis de movimento quando um elevador de 2000kg tem o seu cabo rompido e cai a 25m/s sobre uma mola de amortecimento no fundo do poço de contenção. a mola é projetada para que o elevador pare quando essa sofrer uma compressão de 3,00m. durante o movimento, uma braçadeira de segurança exerce sobre o elevador uma força de atrito constante igual a 17.000 n. a constante da mola que deveria ser usada é de? gostaria de saber, por favor.

Answer 1

$\displaystyle T=U$

Onde T é energia cinética e U é energia potencial.

Energia cinética é dada por:
$\displaystyle T=\int \vec{F}\cdot d\vec{s}~~~(1)$
ou seja:
$\displaystyle T=\int m \vec{a}\cdot d\vec{s}\\\\T=\int m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot d\vec{s}\implies \frac{d\vec{s}}{dt}=\vec{v}\longrightarrow d\vec{s}=\vec{v}dt\\\\T=\int mv\,dv=\boxed{\frac{1}{2}mv^2}~~~(2)$

Energia potêncial é dada por:
$\displaystyle -\int\vec{F}\cdot d\vec{s}~~(3)$
no caso da força elástica:
$\displaystyle \vec{F}=-k\vec{x}\implies U(x)=k\int \vec x\,d\vec x=\frac{1}{2}kx^2~~~(4)$
E da força gravitacional:
$\displaystyle \vec{P}=-mg\implies U(z)=mg\int dz=mgz~~~(5)$
A questão nos fornece que:
 o elevador está caindo a 25 m/s;]
 o elevador possui massa igual a 2000 kg
 o freio do elevador exerce uma força de atrito igual a 17000 N.
 o elevador possui uma mola que absorve a energia do elevador quando comprimida em 3 metros.

A força peso do elevador é:
$\vec{P}=m\vec{g}=2000kg\cdot10~m/s^2\hat{z}=20.000\hat{z}~N~~~~(6)$
Pela segunda lei de Newton:
$\displaystyle \vec{F}_R=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_i~~~(7)\\\\\\\vec{F}_R=-\vec{F}_{at}+\vec{P}~~~(8)$
força de atrito é negativa pois ela é uma força não conservativa, e não depende da trajetória. É uma força dissipativa que aponta sempre ao contrário da força resultante.
$\vec{F}_R=20.000N-17.000N=3000~\hat{z}~N$
Esse valor nos permite encontrar a massa aparente do elevador:
$\displaystyle \vec{F}=m\cdot \vec{a}\\\\i)~~~~3000N=3000\frac{kgm}{s^2}\\\\ii)~~~3000\frac{kg\cdot m}{s^2}=m\cdot 10\frac{m}{s^2}\\\\iii)~~300kg=m$
Utilizando as fórmulas que deduzimos lá em cima e os dados:
$\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kx^2\\\\\text{onde:}\\m=\text{massa}~kg\\v^2=\text{velocidade ao quadrado}~\frac{m^2}{s^2}\\k=\text{constante elastica}~N/m\\x^2=\text{distorcao da mola ao quadrado }m^2$
Seguimos os passos abaixo:
$\displaystyle i)~~~~\frac{1}{2}300kg(25 m/s)^2=\frac{1}{2}(3m)^2k\\\\ii)~~~\frac{1}{2}300kg(625~m^2/s^2)=\frac{1}{2}9~m^2k\\\\iii)~~300~kg\cdot 625~m^2/s^2=9~m^2\cdot k\\iv)~~~187500~\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=9~m^2\cdot k\\\\v)~~~~k=\frac{187500}{9}~\frac{kg\cdot m^2}{s^2\cdot m^2}\\\\vi)~~~k=20833,\bar{3}~\frac{J}{m^2}=\frac{N}{m}\\\\vii)~~\boxed{\boxed{k\approx20833,3~N/m}}$

A constante elástica da mola deverá ser aproximadamente igual a 20833,3 Newton por metro.

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Answer 2

Resposta correta: 1,4 * 10^5 ,  conforme constante de mola que deveria ser usada.