Question

Em um prisma triangular regular,a altura mede 2 raiz de 3m e a área lateral é o quadruplo da area da base. Calcule o volume do prisma

Answer 1

Olá :)

Primeiramente, o volume do prisma pode ser calculado pela fórmula:

V = Ab * h

Sendo V o volume, Ab a área da base e h a altura.

Separando os dados, temos que h = 2√3m

O enunciado também informa que a área lateral Al é o quadruplo da área da base Ab. Escrevendo isso, temos: Al = 4Ab

A base é um triângulo equilátero.  A área de um triangulo equilátero pode ser dada por: $Ab = \frac{\sqrt{3} }{4} b^2$  sendo b a aresta do triângulo.

Lembrando que a área lateral seria a soma das áreas de todas as laterais e que em um prisma triangular temos 3 lados laterais, a área de 1 das laterais é 4/3 Ab.

Essas laterais são retangulos, onde a altura do retângulo é também a altura do prisma. Sendo a área do retangulo Ar dada por:

Ar = b*h

A área de uma lateral é 4/3 Ab. Faremos Ar = 4/3 Ab.

4/3 Ab = 2√3*b

Sendo  $Ab = \frac{\sqrt{3} }{4} b^2$, também vamos substituir Ab na equação acima:

$\frac{4}{3}Ab = 2\sqrt{3} * b  \\ \\ \frac{4}{3}*( \frac{\sqrt{3} }{4} b^2) =  2\sqrt{3} * b\\ \\ \frac{\sqrt{3} }{3} b^2 = 2\sqrt{3} * b\\ \\ \frac{b^2}{3} =  2b\\ \\ b = 2*3 \\ b = 6m$

Agora que sabemos que a lateral b do triangulo mede 6m, a área de sua lateral será: $Ab = \frac{\sqrt{3} }{4} b^2\\ \\ Ab = \frac{\sqrt{3} }{4} 6^2 \\ \\  Ab = 9\sqrt{3}$

Finalmente, o Volume será:

V = Ab * h

V = 9√3 * 2√3

V = 18* 3 = 54 m³

RESPOSTA: 54m³