Question

em um prisma hexagonal regular de altura raiz de 3cm a area lateral é igual a área de umas das bases.Calcule o volume desse prisma.

Answer 1

$Observe \ o \ anexo :$

$A \ superf\'icie \ lateral \ desse \ hex\'agono \ \'e \ composta \ por \ ret\^angulos.$

$As \ medidas \ desses \ ret\^angulos \ s\~ao : \\ \rightarrow \ L \ : \ Lado \ da \ base; \\ \rightarrow \ H \ : \ Altura \ do \ hex\'agono...$

$\'Area \ de \ um \ ret\^angulo : \ L\ . \ H; \\ \\ Como \ s\~ao \ 6 \ ret\^angulos, \ a \ \'area \ lateral \ A_l \ fica : \\ \\ A_l \ = \ 6 \ . \ L \ . \ H$

$O \ hex\'agono \ regular \ \'e \ composto \ por \ 6 \ \Delta \ equil\'ateros. \\ \\ A \ sua \ \'area \ \'e : \ A_{hex} \ = \ \frac{3 \ . \ L^2 \ . \ \sqrt{3}}{2}$

$Foi \ dito \ que \ : \ A_l \ = \ A_{hex} \\ \\ \ 6 \ . \ L \ . \ H \ = \ \frac{3 \ . \ L^2 \ . \ \sqrt{3}}{2} \ \rightarrow \ H \ = \ \sqrt{3} \\ \\ \ 6 \ . \ L \ . \ \sqrt{3} \ = \ \frac{3 \ . \ L^2 \ . \ \sqrt{3}}{2} \\ \\ 6 \ . \ L \ = \ \frac{3 \ . \ L^2}{2} \ \rightarrow \ Como \ L \ \neq \ 0 : \\ \\ 6 \ = \ \frac{3 \ . \ L}{2} \\ \\ L \ = \ \frac{6 \ . \ 2}{3} \\ \\ L \ = \ 4 \ u \ \rightarrow \ Lado \ da \ base \ do \ hex\'agono !$

$V_{prisma} \ = \ Ab_{prisma} \ . \ H_{prisma} \\ \\ A \ \'area \ da \ base \ Ab_{prisma} \ \'e : \\ \\ Ab_{prisma} \ = \ \frac{3 \ . \ L^2 \ . \ \sqrt{3}}{2} \\ \\ Ab_{prisma} \ = \ \frac{3 \ . \ 4^2 \ . \ \sqrt{3}}{2} \\ \\ Ab_{prisma} \ = \ 24 \ . \ \sqrt{3} \ u^2$

$Como \ a \ altura \ H_{prisma} \ = \ \sqrt{3} \ u \ : \\ \\ V_{prisma} \ = \ 24 \ . \ \sqrt{3} \ . \ \sqrt{3} \\ \\ V_{prisma} \ = \ 24 \ . \ 3 \\ \\ \boxed{\boxed{V_{prisma} \ = \ 72 \ u^3}} \ \rightarrow \ Volume \ do \ prisma ! \\ \\ \\ (u \ de \ unidade, \ j\'a \ que \ a \ mesma \ n\~ao \ foi \ dada...)$