Question

Em um ponto (x,y,z) do espaço , a interpretação fisica do rotacional do campo vetorial F esta relacionada á tendencia do campo F de produzir rotação naquele ponto. sabendo disso, considere o campo F (x,y,z) = ( 2x³+4z²)i + (x²-y)j + (z)k , e assinale a alternativa que contenha o seu rotacional. Alternativas Alternativa 1: rotF=(0,2x,3y) Alternativa 2: rotF=(0,4z,x) Alternativa 3: rotF=(0,8z,2x) Alternativa 4: rotF=(6x,8z,-y) Alternativa 5: rotF=(-x,8z,-2y)

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Cálculo Vetorial, concluímos que o rotacional é rot F = (0, 8z, 2x) .

☛     O rotacional de uma função vetorial  $\vec{F} =F_{1}\hat{i} +F_{2}\hat{j} +F_{3}\hat{k}$  é denotado por  $\text{rot} \ \vec{F}$  ou  $\nabla \times \vec{F}$  e definido como:

$\begin{array}{l}\text{rot} \ \vec{F} =\nabla \times \vec{F}\\\\=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\F_{1} & F_{2} & F_{3}\end{vmatrix}\end{array}$

$=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y} -\frac{\partial F_{2}}{\partial z}\right)\hat{i} +\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial z} -\frac{\partial F_{3}}{\partial x}\right)\hat{j} +\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x} -\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\hat{k}$

➜     Na sua questão, temos  $\vec{F} =\left( 2x^{3} +4z^{2}\right)\hat{i} +\left( x^{2} -y\right)\hat{j} +z\hat{k}$ .

Assim, inserindo os dados do enunciado junto à definição de rotacional, temos,

$\begin{array}{l}\text{rot} \ \vec{F} =\nabla \times \vec{F}\\\\=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\2x^{3} +4z^{2} & x^{2} -y & z\end{vmatrix}\end{array}$

$\begin{array}{l}=( 0-0)\hat{i} +( 8z-0)\hat{j} +( 2x-0)\hat{k}\\\\=8z\hat{j} +2x\hat{k} \ \ \lor \ \ \langle 0,8z,2x\rangle \end{array}$

∴     O rotacional é rot F = (0, 8z, 2x), o que consta na alternativa 3   ✍️

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Answer 2

Resposta:  Alternativa 3: $\mathrm{rot}(\mathbf{F})=(0,\,8z,\,2x).$

Explicação passo a passo:

Calcular o rotacional do campo vetorial no $\mathbb{R}^3$

   $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)=P(x,\,y,\,z)\mathbf{i}+Q(x,\,y,\,z)\mathbf{j}+R(x,\,y,\,z)\mathbf{k}$

com

   $\begin{cases}~P(x,\,y,\,z)=2x^3+4z^2\\ ~Q(x,\,y,\,z)=x^2-y\\ ~R(x,\,y,\,z)=z \end{cases}$

O rotacional de $\mathbf{F}$ é dado por

   $\mathrm{rot}(\mathbf{F})=\nabla\times \mathbf{F}\\\\\\=\left(\dfrac{\partial}{\partial x},\,\dfrac{\partial}{\partial y},\,\dfrac{\partial}{\partial z}\right)\times \Big(P(x,\,y,\,z),\,Q(x,\,y,\,z),\,R(x,\,y,\,z)\Big)$

Podemos escrever o cálculo acima na forma de um determinante simbólico:

   $=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ P&Q&R \end{vmatrix}$

    $=\begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ Q&R \end{vmatrix}\mathbf{i}-\begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ P&R \end{vmatrix}\mathbf{j}+\begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\\\ P&Q \end{vmatrix}\mathbf{k}$

    $=\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\right)\!\mathbf{i}-\left(\dfrac{\partial R}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial z}\right)\!\mathbf{j}+\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\!\mathbf{k}$

Substituindo as coordenadas $P,\,Q$ e $R$ do campo vetorial e calculando as derivadas parciais indicadas, temos

    $=\left(\dfrac{\partial}{\partial y}(z)-\dfrac{\partial}{\partial z}(x^2-y)\right)\!\mathbf{i}-\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(z)-\dfrac{\partial}{\partial z}(2x^3+4z^2)\right)\!\mathbf{j}+\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2-y)-\dfrac{\partial}{\partial y}(2x^3+4z^2)\right)\!\mathbf{k}$

    $=(0-0)\mathbf{i}-(0-8z)\mathbf{j}+(2x-0)\mathbf{k}\\\\\\=(0)\mathbf{i}+(8z)\mathbf{j}+(2x)\mathbf{k}\\\\\\=(0,\,8z,\,2x)\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Bons estudos!