Question

Em um polígono regular o número de lados é um terço do número de diagonais

A) determine qual é esse polígono

B)Determine o valor de cada anlgulo interno desse polígono

Answer 1

Dado um polígono qualquer podemos calcular a sua quantidade de diagonais em função do número de lados de acordo com a fórmula abaixo onde d é o número de diagonais que ele possui e n o número de lados.

$d = \dfrac{n(n-3)}{2}$

Sabemos do enunciado também que:

$n = \dfrac{d}{3}$

Podemos assim formar um sistema de equações para descobrir quantos lados e diagonais este polígono possui. Multiplicando cruzado a ultima equação temos:

$d = 3n$

Substituindo 3n no lugar de d na primeira equação:

$3n = \dfrac{n(n-3)}{2}$

Multiplicando cruzado e isolando n achamos:

$6n = n^2 - 3n\\n^2 -9n = 0\\n(n-9) = 0\\n = 0 \ ou \ n = 9$

Como um polígono não pode ter 0 lados, encontramos que o polígono tem 9 lados.

a) Eneágono.

b) Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer é

$S_i = (n-2)180$

Como n = 9:

$S_i = 7.180\\S_i = 1260$

Se o polígono é regular, todos os seus ângulos são iguais, então basta dividir a soma de todos eles pelo número de lados caso queira encontrar o valor de apenas 1 dos ângulos internos.

$a_i = \dfrac{1260}{9}\\\\a_i = 140$

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