Question

Em um polígono regular, a diferença entre um ângulo interno e o dobro do ângulo externo é igual a 120. Qual é este polígono?

Answer 1

O angulo interno e o angulo externo de poligonos regulares são calculados pelas seguintes equações:

$a_i=\frac{(n-2).180^\circ}{n}\\\\a_e=\frac{360^\circ}{n}$

Onde "n" é o numero de lados desse poligono.

O enunciado no da a seguinte equação: "a diferença entre um ângulo interno e o dobro do ângulo externo é igual a 120".

Podemos transcrever da seguinte forma:

$a_i-2\,.\,a_e=120$

Isolando $a_i$ nessa equação e substituindo na equação do angulo intero:

$a_i=120+2a_e\\\\a_i=\frac{(n-2).180^\circ}{n}\\\\120+2a_e=\frac{(n-2).180^\circ}{n}\\\\2a_e=\frac{(n-2).180^\circ}{n}-120\\\\a_e=\frac{(n-2).180^\circ}{2.n}-\frac{120}{2}\\\\a_e=\frac{(n-2).90^\circ}{n}-60$

Perceba que agora temos 2 equações para o angulo externo, logo podemos igualar:

$\frac{(n-2).90^\circ}{n}-60=\frac{360^\circ}{n}\\\\\frac{(n-2).90^\circ}{n}-\frac{360^\circ}{n}=60\\\\\frac{90n-180-360}{n}=60\\\\90n-540=60.n\\\\90n-60n=540\\\\30n=540\\\\n=\frac{540}{30}\\\\n=18\;lados$

O poligono achado (18 lados) é o Octodecágono.