Question

Em um polígono regular, a diferença entre as medidas de um ângulo interno e o externo é de 132°. O total de diagonais desse polígono, portanto, será
a) 90 b)15 c)54 d)36 e)65

Answer 1

Vamos lá.

Antes veja que os ângulos internos e externos de um polígono são suplementares (ou seja, a soma de um ângulo interno com um ângulo externo é igual a 180º).
Assim, chamando de "x" o ângulo interno e de "y" o ângulo externo, teremos;

x + y = 180    . (I)

Por outro lado, como temos que a diferença entre esses dois ângulos é de 132º, então teremos que:

x - y = 132    . (II)

Agora veja que ficamos com um sistema de equações formado pelas expressões (I) e (II).
Vamos fazer o seguinte: somaremos, membro a membro, as expressões (I) e (II). Assim:

x + y = 180 --- [esta é a expressão (I) normal]
x - y = 132 ---- [esta é a expressão (II) normal]
-------------------- somando membro a membro, teremos:
2x + 0 = 312 ---- ou apenas:

2x = 312
x = 312/2
x = 156º <---- Esta é a medida do ângulo interno.

Agora note:  já poderemos ficar satisfeitos com o que já encontramos, que é a medida do ângulo interno (156º), pois ela já é suficiente para encontrarmos o número de lados do polígono e, assim, encontrarmos o número de diagonais desse mesmo polígono.

Veja que a fórmula para encontrar a medida de um ângulo interno é dada por:

ai = 180*(n-2)/n , em que "ai" é a medida de um ângulo interno e "n" é o número de lados do polígono.
Assim, substituindo-se "ai" por "156", teremos:

156 = 180*(n-2)/n ----- multiplicando em cruz, teremos:
156*n = 180*(n-2)
156n = 180n - 360 ---- passando "180n" para o 1º membro, teremos;

156n - 180n = - 360
- 24n = - 360 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", temos:

24n = 360
n = 360/24
n = 15 <---- Este é o número de lados do nosso polígono regular.

Finalmente, vamos encontrar o número de diagonais desse polígono, utilizando-se, para isso, a fórmula para encontrar o número de diagonais de um polígono,  que é esta:

d = n*(n-3)/2 , em que "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados. Como o polígono tem 15 lados, então vamos substituir "n" por "15" na fórmula acima. Assim:

d = 15*(15-3)/2
d = 15*(12)/2
d = 15*12/2
d = 180/2
d = 90 <---- Esta é a resposta. Opção "a". Este é o número de diagonais do polígono da sua questão.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.