Question

Em um poligno o número de diagonais é o quadruplo do número de lados. Que poligno e esse?
D=n(n-3)/2

Answer 1

Usando a fórmula que relaciona número de lados com número de diagonais de um polígono, obtém :

undecágono = polígono com onze lados

A fórmula que aqui relaciona o número de diagonais com o número de lados de um polígono:

$D=\dfrac{n\cdot (n-3)}{2}$

D = número de diagonais

n = número de lados

Com a outra informação que se tem:

$D=4\cdot n$

Cria-se um sistema linear de duas equações com duas incógnitas

$\begin{cases} D=\dfrac{n\cdot (n-3)}{2}\\D=4n \end{cases}\\~\\\\\begin{cases} 4n=\dfrac{n\cdot (n-3)}{2}\\ D=4n \end{cases}\\~\\\\\begin{cases} \dfrac{4n}{1}=\dfrac{n\cdot (n-3)}{2}\\ D=4n \end{cases}\\~\\\\\begin{cases} \dfrac{4n\cdot 2}{1\cdot 2}=\dfrac{n\cdot (n-3)}{2}\\ D=4n \end{cases}\\~\\\\\begin{cases} \dfrac{8n}{ 2}=\dfrac{n\cdot (n-3)}{2}\\ D=4n \end{cases}\\~\\\\\begin{cases} 8n=n\cdot (n-3)\\ D=4n \end{cases}\\~$

Está a ser usado o M´todo de Substituição

$\begin{cases} 8n=n\cdot n-3n\\ D=4n \end{cases}\\~\\\\\\\begin{cases} 8n-8n=n^2-3n-8n\\ D=4n \end{cases}\\~\\\\\begin{cases} 8n-8n=n^2-3n-8n\\ D=4n \end{cases}\\~\\\\\begin{cases} 0=n^2-11n\\ D=4n \end{cases}\\~\\\\\begin{cases} 0=n\cdot (n-11)\\ D=4n \end{cases}\\~$

Cálculo auxiliar do número de lados

$n\cdot (n-11)=0\\~\\n=0 ~~ou~~n-11=0\\~\\n=0 ~~ou~~n=11\\~$

Assim o número de lados é 11 , logo é um undecágono.

Nota →  Explicação da passagem de:

$8n=n^2-3n$

para

$8n-8n=n^2-3n-8n$

O que se fez obedece a uma das duas propriedades da resolução de equações:

• " Pode-se somar (ou subtrair) valores iguais em ambos os membros da equação que se obtém uma equação equivalente "

• Quando se quer retirar uma parcela de um membro da equação, adicionamos em ambos os membros o simétrico do que se quer retirar.

Muitas vezes se diz " passou-se " , neste caso  , do primeiro para o segundo , + 8  para - 8 , trocando o sinal.

Isto é apenas a aparência da aplicação da propriedade acima aplicada.

Queria-se eliminar o " + 8n" no primeiro membro.

Assim adiciona-se " - 8n " em ambos os membros, pois " - 8n " é o simétrico  do valor a eliminar.

Nota →  Adição de valores simétricos é zero

Exemplos:

+ 8 e - 8

3x e - 3x

$a^2~~e~~-a^2$

Saber mais sobre a relação número de diagonais com o número de lados de um polígono, com Brainly:

https://brainly.com.br/tarefa/16797409?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/179974?referrer=searchResults

Bons estudos.

Att : Duarte Morgado

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$(\cdot)$  multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.