Question

Em um poliedro convexo qualquer, são válidas as seguintes desigualdades:
2a≥ 3f e A+6 ≤ 3F
Usando essas relações, calcule quantas faces e quantos vértices tem um poliedro convexo com 10 arestas.

Answer 1

Resposta:

6 faces e 6 Vértices

Para que exista um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces , é necessário que a relação de Euler seja válida e que

Explicação passo-a-passo:

:$A\geq 6\\\\A+6\leq 3F\leq 2A \\\\A+6\leq 3V\leq 2A\\\\Se A=10\\\\10+6\leq 3F\leq 2.10\\\\16\leq 3F\leq 20\\\\e \\16\leq 3V\leq 20\\\\logo:\\\\F=6 \\e\\V=6\\\\Euler: V+F=A+2\\\\6+6=10+2\\\\12=12$

Answer 2

O poliedro convexo possui 6 vértices e 6 faces.

Poliedros convexos

Dadas as desigualdades no enunciado e a informação de que o poliedro possui 10 arestas, é possível substituir o valor das arestas em cada desigualdade:

$2A \geq 3F\\2\cdot 10 \geq 3F\\3F\leq 20\\F\leq 6,33\\F\leq 6\\\\\\A+6 \leq 3F\\10+6\leq 3F\\3F\geq 16\\F\geq 5,33\\F\geq 6$

Diante dessas duas inequações, é possível perceber que para satisfazer ambas, o único valor possível para F é 6. Assim, pode-se afirmar que o poliedro possui 6 faces.

Utilizando a Relação de Euler, é possível calcular quantos vértices o poliedro possui:

$V+F = A+2\\V+6 = 10+2\\V = 12-6\\V = 6$

Portanto, o poliedro da questão possui 6 vértices e 6 faces.

Outra questão sobre poliedros convexos: https://brainly.com.br/tarefa/34990304