Question

Em um navio-petroleiro, um tanque sofreu uma ruptura e passou a derramar oleo que se espalhou em forma circular cujo raio cresce a uma taxa de 2 m/h. Determine a taxa de variacão da area do derramamento no instante em que o raio atingir 60m.

Answer 1

•    $\large\textsf{Raio da mancha de \'oleo: r;}$

•    $\large\textsf{\'Area da mancha de \'oleo: A.}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Devemos ter}\\\\ \mathsf{A=\pi r^2}\\\\ \textsf{(A \'e uma fun\c{c}\~ao de r)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Mas o raio r varia com o tempo:}\\\\ \mathsf{r=r(t)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Ent\~ao, derivando a express\~ao da \'area em rela\c{c}\~ao a t, temos}\\\\ \mathsf{\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{d}{dt}(\pi r^2)}\\\\ \mathsf{\dfrac{dA}{dt}=\pi\dfrac{d}{dt}(r^2)}\\\\ \mathsf{\dfrac{dA}{dt}=\pi\cdot 2r\cdot \dfrac{dr}{dt}\qquad(i)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Para }\\\\ \mathsf{r = 60~m~}\textsf{ e }\mathsf{~\dfrac{dr}{dt}=2~m/h,}\\\\ \textsf{temos ent\~ao que}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dA}{dt}\bigg|_ {r=60}=\pi \cdot 2\cdot (60~m)\cdot (2~m/h)}\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathsf{\dfrac{dA}{dt}\bigg|_ {r=60}=240\pi~m^2/h} \end{array}} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \textsf{(esta \'e a taxa de varia\c{c}\~ao da \'area de derramamento no}\\\textsf{instante em que }\mathsf{r=60~m}\textsf{).}\\\\\\ \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$

Answer 2

$\mathsf{\dfrac{dR}{dt}=2m/h}\\\mathsf{R=60m}\\\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=?}$

$\mathsf{A=\pi.{R}^{2}}\\\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=2.\pi.R.\dfrac{dR}{dt}}\\\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=2.\pi.60.2}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=240\pi{m}^{2}/h}}}$