Matemática, perguntado por Samuelbuenobispo, 6 meses atrás

Em um navio de cruzeiro viajam 1.500 pessoas, das quais:
• 630 bebem.
• 350 fumam.
• 680 não bebem e não fumam.
Quantas das pessoas que estão nesse navio bebem e fumam?

Soluções para a tarefa

Respondido por Atoshiki

São 160 pessoas que bebem e fumam no navio.

$\square$ Acompanhe a solução:

Dados:

total de pessoas viajando num navio cruzeiro = 1500;
bebem (B) = 630;
fumam (F) = 350;
não bebem e não fumam (ÑB ∩ ÑF) = 680;
bebem e fumam (B ∩ F) = ?

Sabe-se que 1500 é o total da soma entre as pessoas que APENAS bebem, APENAS fumam, não bebem e não fumam e das pessoas que bebem e fumam. Transformando em sentença matemática, temos:

$\Large{\boxed{1500 = AB + AF + \~NB\cap\~NF+B\cap F}}$

Note que somando a quantidade de pessoas que bebem, que fumam e que não bebem e não fumam, supera o total de pessoas que estão viajando no navio. (630 + 350 + 680 = 1660).

Isto quer dizer que a quantidade de pessoas que bebem (B) é a soma entre a quantidade de pessoas que APENAS bebem (AB) pela quantidade de pessoas que bebem E fumam (B ∩ F). Isto ocorre também com a quantidade de pessoas que fumam (F), o qual é a soma entre a quantidade de pessoas que APENAS fumam (AF) e também pela quantidade de pessoas que bebem E fumam (B ∩ F). Transformando em sentença matemática, temos:

$\Large{\boxed{B=AB+B\cap F}}\\\\\\\Large{\boxed{F = AF+B\cap F}$

Perceba que B ∩ F foi contabilizado 2 vezes. Desta forma, é preciso descontar B ∩ F daqueles que B e daqueles que F para obtermos a quantidade de pessoas que AB e a quantidade de pessoas que AF. Veja:

$\square$ Descontando B ∩ F tanto das pessoas que bebem, como das pessoas que fumam:

⇒ pessoas que APENAS bebem:

$B = AB + B \cap F \\\\AB = B - B \cap F \\\\\large{\boxed{AB = 630 - B \cap F}} \large{\checkmark}$

Assim, 630 - B ∩ F, refere-se a quantidade de pessoas que APENAS bebem.

⇒ pessoas que APENAS fumam:

$F = AF + B \cap F\\\\AF = F - B \cap F\\\\\Large{\boxed{AF = 350 - B \cap F} \large\checkmark$

Assim, 350 - B ∩ F, refere-se a quantidade de pessoas APENAS fumam.

$\square$ Montando o diagrama de Venn para ilustrar a situação descrita pelo enunciado:

ttl de pessoas = 1500

$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\bezier(-3,0)(-2.77,2.77)(0,3)\bezier(3,0)(2.77,2.77)(0,3)\bezier(-3,0)(-2.77,-2.77)(0,-3)\bezier(3,0)(2.77,-2.77)(0,-3)\bezier(0,0)(0.17,2.77)(3,3)\bezier(6,0)(5.77,2.77)(3,3)\bezier(0,0)(0.17,-2.77)(3,-3)\bezier(6,0)(5.77,-2.77)(3,-3)\put(-4,-4){\line(1,0){11}}\put(-4,4){\line(1,0){11}}\put(-4,-4){\line(0,1){8}}\put(7,-4){\line(0,1){8}}\put(-3.5,3){\Large$\sf 680$}\put(0.8,-0.2){\Large$\sf B\cap F$}\put(-2.8,-0.2){\Large$\sf 630-B\cap F$}\put(3.2,-0.2){\Large$\sf 350-B\cap F$}\end{picture}$

$\square$ Cálculo das pessoas que bebem e fumam (B ∩ F):

Utilizando a primeira fórmula descrita, temos:

$1500 = AB + AF + \~NB\cap\~NF+B\cap F\\\\1500 = 630 - B\cap F+350-B\cap F + 680 + B \cap F\\\\- B\cap F = 1500 - 1660\\\\-B\cap F = -160\\\\\Large{\boxed{\boxed{B\cap F = 160}} \Huge\checkmark$

$\square$ Resposta:

Portanto, são 160 pessoas que bebem e fumam.

Diagrama de Venn, Final:

ttl de pessoas = 1500

$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\bezier(-3,0)(-2.77,2.77)(0,3)\bezier(3,0)(2.77,2.77)(0,3)\bezier(-3,0)(-2.77,-2.77)(0,-3)\bezier(3,0)(2.77,-2.77)(0,-3)\bezier(0,0)(0.17,2.77)(3,3)\bezier(6,0)(5.77,2.77)(3,3)\bezier(0,0)(0.17,-2.77)(3,-3)\bezier(6,0)(5.77,-2.77)(3,-3)\put(-4,-4){\line(1,0){11}}\put(-4,4){\line(1,0){11}}\put(-4,-4){\line(0,1){8}}\put(7,-4){\line(0,1){8}}\put(-3.5,3){\Large$\sf \~NB \cap \~NF = 680$}\put(0.1,-0.2){\Large$\sf B \cap F = 160$}\put(-2.8,-0.2){\Large$\sf AB = 470$}\put(3.2,-0.2){\Large$\sf AF = 190$}\end{picture}$