Question

Em um mesmo plano cartesiano, considere as retas (r) 2x + 2my + m = 0 e (s) mx + my – 2 = 0 em que m é uma constante real não nula. Sobre esta situação são feitas quatro afirmações:

I. Se m ≠ 1, então r e s são retas concorrentes.

II. Se m = –4, r e s são paralelas.

III. Não existe valor real de m para o qual r e s são perpendiculares.

IV. r e s não podem ser coincidentes.

O número de afirmações corretas é:

Answer 1

// Equação reduzida:

(r) y = x/m - 2

(s) y = 2/m - x

// Dados:

// Coeficiente angular de r: 1/m

// Coeficiente angular de s: -1

I. (FALSO) Substituí m por 1, e obtive retas concorrentes, pois os coeficientes angulares são opostos entre si nas retas r e s.

Ficará:

(r) y = x - 2

(s) y = -x + 2

II. (FALSO) Substituí m por -4 e obtive que os coeficientes angulares são diferentes, portanto não são paralelas.

Ficará:

(r) y = -x/4 - 2

(s) y = -x -1/2

III. (FALSO) Na verdade existe, apliquei a fórmula que relaciona os coeficientes angulares de duas retas e nota-se que podem ser paralelas caso m seja igual à 1.

Ficará:

Mr . Ms = -1 (Fórmula)

-1 . 1/m = -1

m = 1

IV. (FALSO) Podem ser retas coincidentes (iguais, como se fossem uma única reta), caso m seja igual à -1.

Ficará:

(r) y = -x - 2

(s) y = -x - 2

CONCLUSÃO:

Por favor avalie minha resposta, letra A

Answer 2

Ao todo, o número de afirmações corretas é 2.

Escrevendo as equações na forma reduzida, temos:

(r) y = (-2x - m)/2m

y = -x/m - 1/2

(s) y = (-mx + 2)/m

y = -x + 2/m

Analisando as afirmações:

I. Correta

Para m = 1, temos:

(r) y = -x - 1/2

(s) y = -x + 2

Com o mesmo coeficiente angular, estas retas são paralelas, logo, para m ≠ 1, elas serão concorrentes.

II. Incorreta

Vimos que elas são paralelas apenas para m = 1.

III. Incorreta

Para que elas sejam perpendiculares, o produto dos coeficientes angulares deve ser -1, ou seja:

mr · ms = -1

-1/m · (-1) = -1

1/m = -1

m = -1

Para m = -1, elas são perpendiculares.

IV. Correta

r e s serão coincidentes apenas se seus coeficientes angular e linear forem iguais, ou seja:

-1/m = -1

-1/2 = 2/m

A única solução para -1/m = -1 é m = 1.

A única solução para -1/2 = 2/m é m = -4.