Question

Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida, para t≤0, por Q(t)=k⋅5^kt, sendo t o tempo, em minuto, e k uma constante.

A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25Q(0) . Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no quarto minuto.


Escolha uma opção:
a. 312,5
b. 25
c. 1000
d. 625
e. 12,5

Answer 1

Resposta:

Q(4) = 12,5.

Explicação passo-a-passo:

Vamos escrever a função que ele nos deu:

Q(t) = k.5^kt, com k sendo uma constante que nós não sabemos o valor.

Ele também nos deu outra informação: Q(4) = 25Q(0) (já que ele diz que no quarto minuto, é igual a 25Q(0) ).

Vamos tentar calcular Q(0). Para isso, basta substituir 0 na função:

Q(t) = k.5^kt

Q(0) = k.5^k.0

Q(0) = k.5⁰

Q(0) = k.

Descobrimos que Q(0) = k. Ou seja, como Q(4) = 25Q(0):

Q(4) = 25Q(0) = 25k.

Agora, só precisamos calcular Q(4), substituindo 4 no lugar de t:

Q(t) = k.5^kt

Q(4) = k.5^k.4

Como Q(4) = 25k:

25k = k.5^4k

Como k≠0, a gente pode dividir ambos os lados por k:

25 = 5^4k

Utilizando o fato que 25 = 5²:

5² = 5^4k

Quando as bases das potências são iguais, os expoentes também são:

2 = 4k

k = 1/2.

Agora, é só voltar em Q(4) e substituir k:

Q(4) = k.5^4k

Q(4) = (1/2).5^4(1/2)

Q(4) = (1/2).5²

Q(4) = 25/2

Q(4) = 12,5.

Ou seja, no quarto minuto, teremos 12,5 bilhões de bactérias.

Answer 2

Resposta:

letra E

Explicação passo-a-passo:

Primeiro pegue a equação e substitua o valor de t em Q(0), então temos isso:

Q(0)=k.$5^{k.0}$

Q(0) = k.$5^{0}$ (todo número elevado a 0 é 1)

Q(0)= k

logo a quantidade de bactérias no tempo 0 é K

Agora vamos descobrir K usando o tempo 4 minutos e a quantidade 25.Q(0)

Q(4) = k.$5^{kt}$

25.Q(0) = k. $5^{k.4}$  Perceba que Q(0) =k

25k=k. $5^{k.4}$ (simplifique o K)

25 = $5^{k.4}$

$5^{2}$ = $5^{k.4}$ (potências de mesma base)

2=k4

k=$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Logo se K é $\frac{1}{2}$, então vamos usar na função Q(4)

Q(4) = $\frac{1}{2} . 5^{\frac{1}{2} 4}$

Q(4)= $\frac{5^{2} }{2}$ = $\frac{25}{2} = 12,5$

Valeu e espero ter ajudado!