Question

Em um lago, existem patos e cisnes. Após 80 patos deixarem o lago, o número de cisnes fica sendo o dobro do número de patos. Nesse momento, 100 cisnes saem do lago. Depois disso, o número de cisnes passa a ser um terço do número de patos. Quantos patos haviam antes dos animais começarem a sair do lago?

Answer 1

Primeiramente, vamos chamar a quantidade incial de patos de P, e a quantidade inicial de cisnes de C.

Até que 80 patos deixam o lago, e por conta disso, o número de cisnes vira o dobro do de patos, ou seja, se eu pegar o número de Patos que tem agora, que é p-80 e dobrar, eu vou obter o número de cisnes. Escrevendo isso em forma de equação, obtemos:

$2(p - 80) = c$

Depois disso, 100 cisnes saem do lago e então o número de cisnes passa a ser um terço do número de patos, o que significa que eu se eu pegar o número de Patos que tenho agora e dividir por três, que é um terço (1/3), vou obter o número de cisnes que tenho:

$\frac{p - 80}{3} = c - 100$

Com isso, podemos montar um sistema de equações com as duas equações que obtemos até o momento:

$2(p - 80) = c$

$\frac{p - 80}{3} = c - 100$

Vamos resolver as operações nas duas equações até que não possamos fazer mais nada, e aí então começaremos a manipular as equações para descobrir o número de cisnes.

Começando pela primeira equação, realizamos a distributiva, ou seja, multiplicamos o número que está fora do parênteses por todos que estão dentro, ficando desta maneira:

$2p - 160 = c$

Como a letra C já está isolada, vou deixar assim.

Partimos para a segunda equação agora, e para começar vamos passar o 3 que está dividindo do lado esquerdo para o lado direito multiplicando o parênteses, e aí realizaremos a distributiva como na primeira.

${p - 80} = 3(c - 100)$

$p - 80= 3c - 300$

Vou isolar o P nessa segunda equação, ou seja, vou deixá-lo sozinho, jogando o número que está junto com ele para o outro lado com o sinal invertido. (Lembrando que só trocamos o sinal quando o número está executando uma operação de subtração ou adição).

$p = 3c - 300 + 80$

Agora eu somo esse 80 ao (-300):

$p = 3c - 220$

Agora que já não posso mais manipular as duas equações, vou pegar o valor de c que obtive na primeira equação e substituir na segunda:

$p = 3(2p - 160) - 220$

Realizamos a distributiva mais uma vez e depois isolamos letras de um lado e números do outro:

$p = 6p - 480 - 220$

$p = 6p - 700$

$700 = 6p - p$

$700 = 5p$

Passa o 5, que está multiplicando, dividindo:

$\frac{700}{5} = p$

Realizando a divisão, obtemos o seguinte resultado:

$140 = p$

Que é justamente o que o exercício pergunta, a quantidade inicial de patos.