Question

"Em um grupo de P pessoas serão escolhidas uma para presidente, uma para vice-presidente e três para secretários. Se existem 5.040 possibilidades de se fazer essas escolhas, o valor de P é: (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 10 (E) 12"

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Análise Combinatória

$\sf{ C_{1}^{p} * C_{1}^{p-1} * C_{3}^{p-2} ~=~ 5040 }$

$\sf{ \dfrac{p!}{1!\cancel{(p-1)!}} * \dfrac{\cancel{(p-1)!}}{1!(p-1-1)!} * \dfrac{(p-2)!}{3!(p-2-3)!} ~=~ 5040 }$

$\iff \sf{ \dfrac{p!}{\cancel{(p-2)!}} * \dfrac{\cancel{(p-2)!}}{(p-5)!3!} ~=~ 5040 }$

$\iff\sf{ \underbrace{\dfrac{p!}{(p - 5)!}}_{A_{5}^{p}}~=~ 6 * 5040~=~30240 }$

Perceba que: $\sf{ 30240~=~ \dfrac{10!}{(10-5)!}~=~A_{5}^{10} }$

Por tanto vamos ter :

$\iff \sf{ A_{5}^{p}~=~ A_{5}^{10} }$

Então por comparação podemos concluir que :

$\green{ \iff \boxed{ \sf{ n~=~ 10 } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Alternativa D)

Espero ter ajudado bastante!)