em um grupo de 20 pessoas há 6 homens.Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas de modo que nelas haja pelo menos 1 homem
Soluções para a tarefa
6 homens e 14 mulheres
combinaçâo
C(n,k) = n!/(n-k)!k!
m1 = C(6,1)*C(14,3) = 6*364 = 2184
m2 = C(6,2)*C(14,2) = 15*91 = 1365
m3 = C(6,3)*C(14,1) = 20*14 = 280
m4 = C(6,4)*C(14,0) = 15*1 = 15
M = m1 + m2 + m3 + m4 = 2184 + 1365 + 280 + 15 = 3844 modos
Podem ser formadas 3844 comissões com pelo menos 1 homem.
Combinação simples
Será utilizada a fórmula de combinação simples:
Cn,p = n!
p!.(n - p)!
Em que n é o número total de pessoas e p o número de pessoas em cada comissão.
Como queremos saber o número de comissões que contém pelo menos 1 homem, fica mais fácil calcularmos o número de comissões que contém apenas mulheres e subtrair do total de comissões possíveis.
Número total de comissões com 4 pessoas:
Cn,p = n!
p!·(n - p)!
C₂₀,₄ = 20!
4!·(20 - 4)!
C₂₀,₄ = 20!
4!·16!
C₂₀,₄ = 20·19·18·17·16!
4!·16!
C₂₀,₄ = 20·19·18·17
4!
C₂₀,₄ = 20·19·18·17
4·3·2·1
C₂₀,₄ = 116280
24
C₂₀,₄ = 4845 comissões totais
Há 20 pessoas, das quais 6 são homens. Portanto, o total é de 14 mulheres.
Número de comissões de 4 pessoas em que todas são mulheres:
C₁₄,₄ = 14!
4!·(14 - 4)!
C₁₄,₄ = 14!
4!·10!
C₁₄,₄ = 14·13·12·11·10!
4!·10!
C₁₄,₄ = 14·13·12·11
4!
C₁₄,₄ = 14·13·12·11
24
C₁₄,₄ = 24.024
24
C₁₄,₄ = 1001 comissões apenas com mulheres
Portanto, o número de comissões com pelo menos 1 homem é:
4845 - 1001 = 3844
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