Question

Em um grupo de 10 pessoas, 6 são brasileiras e 4 são de outras nacionalidades. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar de modo que pelo menos 3 pessoas sejam brasileiras?






GABARITO >> 186

Answer 1

Se tem que ter pelo menos 3 brasileiros, podem haver 3, 4 ou 5 brasileiros.
É necessário fazer 3 combinações:

1) Tendo 3 brasileiros:
C6,3 x C4,2 = 6!/3!.3!  x  4!/2!.2!
6.5.4.3!/3.2.1.3!  x  4.3.2!/2.1.2! = 20 x 6 = 120
Então tendo 3 brasileiros é possível ter 120 combinações.

2) Tendo 4 brasileiros:
C6,4  x C4,1 = 6!/4!.2!  x  4!/3!.1!
6.5.4!/4!.2.1   x  4.3!/3!.1  = 15 x 4 = 60
Tendo 4 brasileiros, pode haver 60 combinações

3)Tendo 5 brasileiros:
C6,5 = 6!/5!1! = 6.5!/5!.1  = 6
Tendo 5 brasileiros, existem 6 combinações.

Para saber o total de combinações que existam pelo menos 3 brasileiros, soma-se as 3 hipóteses acima, no caso:
120 + 60 + 6 = 186 comissões possíveis.

Answer 2

=> Temos 10 pessoas

...6 brasileiros ..4 de outras nacionalidades

Pretendemos formar comissões de 5 elementos ..com PELO MENOS 3 brasileiros

..isto implica que as comissões podem ter:

--> 3 brasileiros + 2 outras nacionalidades

..donde resulta um total de comissões dadas por: C(6,3) . C(4,2) = 20 . 6 = 120

--> 4 brasileiros + 1 de outra nacionalidade

..donde resulta um total de comissões dadas por: C(6,4) . C(4,1) = 15 . 4 = 60

--> 5 brasileiros

...donde resulta um total de comissões dadas por C(6,5) = 6

Assim o total de combinações possíveis (N) será:

N = C(6,3) . C(4,2) + C(6,4) . C(4,1) + C(6,5)

N = 120 + 60 + 6

N = 186

Espero ter ajudado