Question

Em um experimento de dilatação térmica dos sólidos, usou-se
uma barra de alumínio de 1,0 metro de comprimento a
uma temperatura inicial de 20 °C, conforme o esquema a
seguir.

Aquecendo-se a barra, ela se expande e faz o pino cilíndrico (de 5,0
mm de raio) rolar em torno do eixo fixo, movendo o ponteiro.

A extremidade presa ao suporte se mantém fixa. A que temperatura deve ser aquecida a barra para que o ponteiro gire 45° a partir de sua posição inicial?
Dados: coeficiente de dilatação linear do alumínio = 2.10-5 °C ';
= 3,2
a) 220 °C
b) 150 °C
c) 200 °C
d) 450 °C
e) 520 °C

Answer 1

Com os cálculos realizados podemos afirmar que a temperatura deve ser aquecida a barra para que o ponteiro gire 45° a partir de sua posição inicial foi de $\large \displaystyle \mathsf{ T_2 =220^\circ }$ e sendo alternativa correta a letra A.

A dilatação térmica linear é a variação de comprimento que ocorre quando um corpo é submetido a uma elevação de temperatura.

Expressão usada para calcular dilatação linear:

$\large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T } }$

Onde:

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf \Delta L \to }$ Variação do comprimento [ m ],

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf L_0 \to }$ Comprimento inicial  [ m ],

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf \alpha \to }$ Coeficiente de dilatação linear  [$\textstyle \sf \sf ^\circ C^{-1}$ ],

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf \Delta T \to }$ Variação de temperatura [º C ].

Dados fornecidos pelo enunciado:

Se analisarmos a figura do enunciado notamos que a dilatação só corresponde ao arco da circunferência:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf \pi = 3,2 \\ \sf r = 5{,0}\: mm = 5 \cdot 10^{-3} \: m\\ \sf \theta = 45^\circ \end{cases}$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \Delta L = \dfrac{\pi \cdot r \cdot \theta} {180^\circ} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \Delta L = \dfrac{3{,}2 \cdot 5\cdot 10^{-3} \cdot 45^\circ } {180^\circ} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \Delta L = \dfrac{0{,}016 \cdot 1 } {4} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \Delta L = \dfrac{0{,}016 } {4} } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \Delta L = 4 \cdot 10^{-3} \: m }$

Para determinar a temperatura final, temos:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf L_0 = 1{,} 0\: m \\ \sf T_1 = 20^\circ C\\ \sf \alpha = 2 \cdot 10^{-5} \:^\circ C ^{-1} \\ \sf \Delta T = T_2 -T_1 \end{cases}$

Aplicando na expressão da dilatação, temos:

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ 4 \cdot 10^{-3} = 1{,}0 \cdot 2 \cdot 10^{-5} \cdot \Delta T } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ 4 \cdot 10^{-3} = 2 \cdot 10^{-5} \cdot \Delta T } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \Delta T = \dfrac{4 \cdot 10^{-3}}{2\cdot 10^{-5}} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta T = 200^\circ }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta T = T_2 - T_1 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 200^\circ = T_2 - 20^\circ }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 200^\circ + 20^\circ = T_2 }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf T_2 = 220^\circ }} }$

Alternativa correta é a letra A.

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