Question

Em um determinado site de olimpíada de Matemática, havia o seguinte desafio: "Determine o menor número natural n que, ao ser dividido por 10, deixa o resto 9; ao ser divido por 9, deixa o resto 8; ao ser dividido por 8, deixa o resto 7; ...; e, ao ser dividido por 2, deixa o resto 1". Descubra você também o valor de n. Apresenta tu o cálculo para chegar até o resultado.

Answer 1

Resposta: 2519.

Explicação passo-a-passo:

    Afirmação: Sejam dois números inteiros positivos n, m. Então n dividido por m deixa resto m − 1 se, e somente se, n + 1 é múltiplo de m.

   

    De fato,

    n dividido por m deixa resto m − 1

    ⇔   n = m · q + (m − 1),   para algum q inteiro.

    ⇔   n + 1 = m · q + m

    ⇔   n + 1 = m · (q + 1)

    ⇔   n + 1 é múltiplo de m.

Sendo assim, segue que se

    n dividido por 10 deixa resto 9,

    n dividido por 9 deixa resto 8,

    n dividido por 8 deixa resto 7,

    n dividido por 7 deixa resto 6,

    n dividido por 6 deixa resto 5,

    n dividido por 5 deixa resto 4,

    n dividido por 4 deixa resto 3,

    n dividido por 3 deixa resto 2, e

    n dividido por 2 deixa resto 1,

então, n + 1 é simultaneamente múltiplo de 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 e 2.

Portanto, n + 1 é múltiplo de mmc(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2) = 2520:

    ⇔   n + 1 = 2520 · k

    ⇔   n = 2520 · k − 1

com k inteiro positivo.

Para k = 1, encontramos o menor natural com as propriedades do enunciado:

    n = 2520 · 1 − 1 = 2519    ←    resposta.

Bons estudos! :-)