Question

Em um determinado objeto a sua força resultante é F = 100N na direção ( +i ) e o vetor momento gerado pela força resultante é M = ( 0, +50, 0)Nm. Determine o vetor posição responsável por gerar este momento. Quest.: 5

Answer 1

Bom dia!

Para resolver esse problema, precisamos lembrar da definição de momento produzido por uma força. Por definição, o momento é um produto vetorial:

$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$

onde

$\vec{\tau}$ é o momento resultante
$\vec{r}$ é o vetor posição que indica onde a força está sendo aplicada
$\vec{F}$ é a força resultante

De acordo com o enunciado do seu problema, podemos escrever o vetor força como (omitindo as unidades por conveniência):

$\vec{F}=100\hat{i}$

O vetor momento é dado por:

$\vec{\tau}=50\hat{j}$

Já o vetor posição, de maneira geral, pode ser escrito como:

$\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

Agora, vamos escrever explicitamente o produto vetorial da definição de momento utilizando os vetores acima:

$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$
$50\hat{j}=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\x&y&z\\100&0&0\end{vmatrix}$
$50\hat{j}=\hat{i}(y\cdot{0}-z\cdot{0})+\hat{j}(z\cdot{100}-x\cdot{0})+\hat{k}(x\cdot{0}-y\cdot{100})$
$50\hat{j}=100z\cdot{\hat{j}}-100y\cdot{\hat{k}}$

Agora, igualamos os dois lados da equação acima componente por componente. Para a componente i não temos equação, logo discutiremos isto. Para a componente j, temos:

$50=100z$
$z=0.5$

Para a componente k temos:

$0=-100y$
$y=0$

Assim, temos que o vetor posição deve ter componentes y=0 e z=0,5m. Agora, quanto à componente x, se olharmos novamente para o cálculo do determinante, é fácil ver que qualquer valor de x levaria ao mesmo resultado, pois ela sempre aparece multiplicada por 0. Sendo assim, a componente x pode ser considerada livre.

Finalmente, podemos escrever o vetor posição como:

$\vec{r}=(x\hat{i}+0,5\hat{k})\,m$,

onde x é qualquer número real.