Em um congresso de educação há 6 professores de física e 6 de matemática. Quantas comissões de 5 professores podem ser formadas havendo em cada uma:
a) 2 professores de matemática e 3 de física
b) pelo menos 3 professores de matemática
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) 300 b) 396
Explicação passo-a-passo:
Olá amigo, tudo bem?
É uma questão de análise combinatória. Vamos aos dados do enunciado:
6 Professores de Física
6 Professores de Matemática
Objetivo: Formar grupos com 5 Professores:
a) A comissão precisa ser formada por:
2 Professores de Matemática
3 Professores de Física
Bom, vamos analisar a primeiro os professores de matemática:
Temos:
6 opções para o primeiro lugar na comissão
5 opções para o primeiro lugar na comissão (Pois um já foi escolhido)
Seria então 6.5 = 30 . Porém uma Comissão formada por Carlos e Marcos. e outra formada por Marcos e Carlos, é a mesma comissão. Portanto, precisamos dividir por 2
30/2 = 15 Jeitos para professores de matemática
Bom, vamos analisar a primeiro os professores de física:
Temos:
6 opções para o primeiro lugar na comissão
5 opções para o primeiro lugar na comissão (Pois um já foi escolhido)
5 opções para o primeiro lugar na comissão (Pois dois já foram escolhidos)
Seria então 6.5.4 = 120 . Porém pelo mesmo motivo, temos de dividir, agora por 6
120/6 = 20 Jeitos para professores de Física
Pelo princípio multiplica basta agora multiplicar os "Jeitos"
15 * 20 = 300 Comissões
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Agora, pelo menos 3 professores de matemática
Com 3 Professores de Matemática
Irá resultar no mesmo valor da de física
300 Comissões
Com 4 Professores de Matemática
Mat
6.5.4.3 = 360
360/24 = 15
Fís
6*1
15 *6 = 90 Comissões
Com 5 professores de matemática
6*5*4*3*2 = 720
720/120 = 6
Somando tudo
300 + 90 + 6 = 396 Comissões com pelo menos 3 professores de matemática