Question

Em um congresso de educação há 6 professores de física e 6 de matemática. Quantas comissões de 5 professores podem ser formadas havendo em cada uma:

a) 2 professores de matemática e 3 de física
b) pelo menos 3 professores de matemática

Answer 1

Resposta:

a) 300 b) 396

Explicação passo-a-passo:

Olá amigo, tudo bem?

É uma questão de análise combinatória. Vamos aos dados do enunciado:

6 Professores de Física

6 Professores de Matemática

Objetivo: Formar grupos com 5 Professores:

a) A comissão precisa ser formada por:

2 Professores de Matemática

3 Professores de Física

Bom, vamos analisar a primeiro os professores de matemática:

Temos:

6 opções para o primeiro lugar na comissão

5 opções para o primeiro lugar na comissão (Pois um já foi escolhido)

Seria então 6.5 = 30 . Porém uma Comissão formada por Carlos e Marcos. e outra formada por Marcos e Carlos, é a mesma comissão. Portanto, precisamos dividir por 2

30/2 = 15 Jeitos para professores de matemática

Bom, vamos analisar a primeiro os professores de física:

Temos:

6 opções para o primeiro lugar na comissão

5 opções para o primeiro lugar na comissão (Pois um já foi escolhido)

5 opções para o primeiro lugar na comissão (Pois dois já foram escolhidos)

Seria então 6.5.4 = 120 . Porém pelo mesmo motivo, temos de dividir, agora por 6

120/6 = 20 Jeitos para professores de Física

Pelo princípio multiplica basta agora multiplicar os "Jeitos"

15 * 20 = 300 Comissões

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Agora, pelo menos 3 professores de matemática

Com 3 Professores de Matemática

Irá resultar no mesmo valor da de física

300 Comissões

Com 4 Professores de Matemática

Mat

6.5.4.3 = 360

360/24 = 15

Fís

6*1

15 *6 = 90 Comissões

Com 5 professores de matemática

6*5*4*3*2 = 720

720/120 = 6

Somando tudo

300 + 90 + 6 = 396 Comissões com pelo menos 3 professores de matemática