Question

Em um cone circular reto, com raio da base medindo 2/3 cm e altura medindo 476 cm, considere o
menor caminho que se pode traçar partindo-se de um ponto P da circunferência da base e
contornando a superfície lateral do cone, como mostrado na figura a seguir.
O comprimento, em cm, desse caminho é​

Answer 1

O comprimento, em cm, desse caminho é​ 18.

Explicação:

Fazendo a planificação do cone, é possível perceber que o menor caminho que se pode traçar partindo-se do ponto P da circunferência da base e contornando a superfície lateral do cone é a corda PQ (veja na figura).

Para determinar o comprimento dessa corda, precisamos da medida da geratriz (g) e do ângulo central (α).

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

g² = h² + r²

g² = (4√6)² + (2√3)²

g² = 96 + 12

g² = 108

g = √108

g = 6√3 cm

Essa geratriz corresponde ao raio do círculo que contém o arco PQ.

O comprimento do círculo que contém o arco PQ mede:

C = 2·π·r

C = 2·π·6√3

C = 12π√3 cm

Por uma regra de três simples, temos:

360° ---- 12π√3

α      ---- 4π√3

α = 360° · 4π√3

        12π√3

α = 360°

       3

α = 120°

Aplicando a lei dos cossenos, podemos determinar o comprimento PQ.

PQ² = g² + g² - 2·g·g·cos α

PQ² = (6√3)² + (6√3)² - 2·6√3·6√3·(-1/2)

PQ² = 108 + 108 - 2·108·(-1/2)

PQ² = 216 + 108

PQ² = 324

PQ = √324

PQ = 18 cm