Question

-Em um comércio a receita é representada pela função y = -5x2 + 80x e a função custo, representada pela função y = 20x + 153, onde x é a quantidade de unidades vendidas do produto. 

a. Apresente a expressão da função Lucro.

b. O lucro máximo é obtido quando a quantidade de unidades vendidas é igual a:

c. haverá prejuízo quando a quantidade de unidades vendidas for:

d. a receita máxima e o lucro máximo serão respectivamente iguais a:

Answer 1

a) A função Lucro = Função Receita - Função Custo
Função Lucro = -5x² + 80x - (20x+153)
Função Lucro = -5x² +80x-20x-153
L(x) = -5x² + 60x-153

b) para saber em qual quantidade teremos um lucro máximo , basta utilizar a fórmula:
x=-b/2a  (pois é uma função de segundo grau)
x= -60/2.(-5)
x= -60/-10
x=6
Logo obtemos o lucro máximo quando temos 6 unidade vendidas

c) Temos prejuizo quando a receita é menor que os custos Logo: R(x) < C(x)
-5x² +80x < 20x+153
-5x² +80x -20x-153 <0
-5x² +60x-153<0 
Usando Báscara chegará nas raízes 
x1=3,67   e x2 = 8,23
Portanto para unidades vendidas abaixo de 3,67 e acima de 8,23 teremos prejuízo.

d) Para cálcular os valores máximos da receita e do lucro utilizamos a fórmula:
-Δ / 4a
Receita Máxima:
x=-Δ / 4a
x=-(80² -4.(-5).0) / 4.(-5)
x=-(6400 -0) / -20
x=-6400/ -20
x=320

Lucro máximo:
x=-Δ / 4a
x=-(60² -4.(-5)(-153)) / 4.(-5)
x=-(3600 -3060) / -20
x=- 540/ -20
x=27

Answer 2

- Função Receita => R(x) = -5x² + 80x;
- Função Custo => C(x) = 20x + 153.
a) Função lucro L(x) = R(x) - C(x)
L(x) = -5x² + 80x - 20x - 153 => L(x) = -5x² +60x - 153

b) Lucro máximo, observe que a função Lucro L(x) = -5x² +60x - 153, possui a<0, logo sua concavidade é voltada para baixo. Então o Lucro máximo será o yv e a quantidade máxima será o xv.
V (-b/2a; -Δ/4a) => xv = -b/2a // yv = -Δ/4a
P/ a = -5 // b = 60 // c = -153
Δ = (60)² - 4(-5)(-153) = 3600 - 3060 = 540
yv = Lucro máximo = -540/4(-5) = 540/20 = 27
xv = quantidade máxima = -60/2(-5) = 60/10 = 6

c) O prejuízo ocorre quando R(x) < C(x), ou a partir do momento em que o L(x) for igual a zero, R(x) = C(x).
-5x² + 80x = 20x + 153
-5x² + 60x - 153 = 0 (-1)
5x² - 60x + 153 = 0
Δ = 540
x' = (60 + √540)/10 = 8,32
x"= (60 + √540)/10 = 3,67
analisemos o gráfico do intervalo:
---------3,67++++++++++++++++8,32----------
Logo, o prejuízo ocorrerá quando x < 3,67 e x > 8,32

d) conforme o item b) a receita máxima e o lucro máximo ocorrerá quando a quantidade for 6.
Lucro máximo = -540/4(-5) = 540/20 = 27
Receita máxima => R(x) = -5(6)² + 80.(6) = 300