Question

Em um clube em reforma, um operário deixa cair sua marreta do alto de um
trampolim a 5,5m acima da superfície da água. A marreta atinge a superfície da
água com certa velocidade e penetra na água com esta mesma velocidade que
permanece constante até atingir o fundo da piscina. A marreta atinge o fundo da
piscina 2s após o instante em que é largada. Com que velocidade a marreta atinge
a superfície da piscina? Qual o intervalo de tempo desde o momento em que a
marreta é largada até o momento em que ela atinge a superfície da água? Qual a
profundidade da piscina? Qual a velocidade média da marreta? Suponha que a
piscina é esvaziada. Quanto tempo a marreta demoraria para atingir o fundo da
piscina, abandonada da mesma altura? Com que velocidade a marreta deve ser
arremessada (e em que sentido) para que ela atinja o fundo da piscina vazia em
2s?

Answer 1

Se  o trampolim está a 5,5m e a marreta caiu desta altura, ela sofreu aceleração da gravidade durante toda queda logo:
$v^{2}=v_{o}^{2}+2a\Delta x \\ v= \sqrt{2a\Delta x} \\v= \sqrt{2.9,81.5,5}\\v= 10,39m/s$
E esta é a velocidade com que a marreta atingirá o fundo da piscina, já que a velocidade se manteve constante após atingir a superfície.

Para encontrarmos o intervalo de tempo até atingir a superfície:
$x=x_{o}+v_{o}t+ \frac{at^{2}}{2} \\x=x_{o}+ \frac{at^{2}}{2} \\x-x_{o}= \frac{at^{2}}{2} \\2(x-x_{o})= at^{2}\\ \frac{2(x-x_{o})}{a}=t^{2} \\ \sqrt{\frac{2(x-x_{o})}{a}}=t \\ \sqrt{\frac{2\Delta x}{a}}=t \\ \sqrt{\frac{2.5,5}{9,81}}=t \\ 1,06s=t$

Se a marreta atinge o fundo da piscina 2 segundos ser largada, e até atingir a superfície passou $1,06s$, dentro da piscina ela percorreu o restante do tempo ($0,94s$) a $10,39 m/s$, então a profundidade da piscina é:

$v= \frac{d}{t}\\ v.t=d\\ 10,39*0,94=d\\ 9,77m=d$

Somando as distâncias do trampolim à piscina com a profundidade da piscina e dividindo pelos dois segundos que levou, temos que a velocidade média é $7,64m/s$.($v= \frac{d}{t}$)

Se a piscina estivesse vazia, a variação de distância seria agora $15,27m$ e teríamos:
$x=x_{o}+v_{o}t+ \frac{at^{2}}{2}\\ x-x_{o}= \frac{at^{2}}{2}\\ \Delta x= \frac{at^{2}}{2}\\ 2\Delta x= at^{2}\\ \frac{2\Delta x}{a}= t^{2}\\ \sqrt{\frac{2\Delta x}{a}} = t\\ \sqrt{\frac{2.15,27}{9,81}} = t\\ 1,8s = t$

E para que atinja o fundo da piscina em dois segundos:
$x=x_{o}+v_{o}t+ \frac{at^{2}}{2}\\ \Delta x=v_{o}t+ \frac{at^{2}}{2}\\ \Delta x - \frac{at^{2}}{2}=v_{o}t\\ \frac{\Delta x - \frac{at^{2}}{2}}{t} =v_{o}\\ \frac{15,27 - \frac{9,81.2^{2}}{2}}{2} =v_{o}\\ -2,18m/s =v_{o}$

Ou seja, ele deve ser arremessado com uma velocidade de $2,18m/s$ para cima.