Question

Em um circuito LRC de uma única malha, com fonte harmônica, considere que R=4,0 Ω, C=150 μF, L=60 mH, f=60 Hz e E0=300 V. Qual é a amplitude da corrente elétrica no circuito?

Answer 1

A amplitude da corrente é:

                                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}|\hat{I}| =47{,}22\text{A}\end{gathered}$

                                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}|\hat{I}| =\frac{E_0}{\sqrt{R^2 + \left(\frac{\omega^2LC - 1}{\omega C}\right)^2}}\end{gathered} }$

Para facilitar as operações entre as cossenoides vamos utilizar fasores, que são números complexos, adotamos j² = -1, dado uma função

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(t) = a\cos\left(\omega t + \varphi\right)\end{gathered}$

onde $\large\displaystyle\begin{gathered}\omega = 2\pi f\end{gathered}$

Dizemos que seu fasor é

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\hat{F} = a\angle \varphi = a\left(\cos \varphi + j\sin \varphi \right)\end{gathered}$

A direita é a forma retangular, ou cartesiana, e a esquerda a forma polar, utilizamos a cartesiana para soma e subtrações e para para multiplicação e divisão usamos a polar.

Operações na forma cartesiana:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}z_1 = a + jb \qquad z_2 = c + jd\\ \\z_1 \pm z_2 = \left(a \pm c\right) + j\left(b \pm d\right)\end{gathered}$

Na forma polar:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}z_1 = |z_1|\angle \theta_1 \qquad z_2 = |z_2|\angle \theta_2\\ \\z_1 \cdot z_2 = |z_1| |z_2|\angle \theta_1 + \theta_2\\ \\\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} \angle \theta_1 - \theta_2\end{gathered}$

Indo de fato agora para o exercício, se a tensão é dada por uma função

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}e_g(t) = E_0\cos \left(\omega t + \theta_e\right)\end{gathered}$

Então seu fasor é

                                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\hat{E} = E_0\angle \theta_e\end{gathered}$

Pela Lei de Kirchhoff das tensões temos que a tensão da fonte é igual a soma das quedas de tensões, logo

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{E} = \hat{V}_R + \hat{V}_L + \hat{V}_C\\ \\\hat{E} = \hat{I}R + \hat{I}\hat{Z}_L + \hat{I}\hat{Z}_C\\ \\\hat{E} = \hat{I}\underbrace{\left(R + \hat{Z}_L + \hat{Z}_C\right)}_{\hat{Z}_{\text{eq}}}\\ \hat{I} = \frac{\hat{E}}{\hat{Z}_{\text{eq}}}\end{gathered} }$

E para calcular a impedância equivalente do circuito

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}Z_L\left(j\omega\right) = j\omega L\\ \\Z_C\left(j\omega\right) = \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C}\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{Z}_{\text{eq}} = R + Z_L\left(j\omega\right) + Z_C\left(j\omega\right)\\ \\\hat{Z}_{\text{eq}} = R + j\omega L - j\frac{1}{\omega C}\\ \\\hat{Z}_{\text{eq}} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\\ \\\hat{Z}_{\text{eq}} = R + j\left(\frac{\omega^2LC-1}{\omega C}\right)\\ \\\end{gathered} }$

Porém note que estamos na forma retangular, para descobrir a corrente temos que realizar uma divisão, portanto temos que deixar na forma polar, como ele pede apenas intensidade não precisamos saber a fase da impedância equivalente, logo

                                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}|\hat{I}| = \frac{|\hat{E}|}{|\hat{Z}_{\text{eq}}|}\end{gathered} }$

Sabemos que |E| = E0, e que

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}|\hat{Z}_{\text{eq}}| =\sqrt{R^2 + \left(\frac{\omega^2LC - 1}{\omega C}\right)^2}\end{gathered} }$

Portanto, num circuito RLC em série em regime senoidal permanente, a amplitude da corrente é dada por

                                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}|\hat{I}| =\frac{E_0}{\sqrt{R^2 + \left(\frac{\omega^2LC - 1}{\omega C}\right)^2}}\end{gathered} }$

Colocando os valores do enunciado chegamos em

                                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}|\hat{I}| =47{,}22\text{A}\end{gathered}$

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