Matemática, perguntado por andrezak80, 5 meses atrás

Em um certo país o aumento da população ocorre segundo a lei,
P(t) = Po e^0,03*t em que Po é a população num determinado ano inicial ou ano-base, t é o número de anos passado a contar do no inicial e 'e' é a base do sistema neperiano de logaritmos.
Sabe-se que log 2 = 0,30103 e log e = 0,434294
Determinar a população, 6 anos após ela ter sido de 200 000 habitantes

Soluções para a tarefa

Respondido por ncastro13

A população do país após 6 anos será de 239.441 habitantes.

Podemos determinar as informações sobre funções exponenciais através da análise da lei de formação e dos coeficientes.

Função Exponencial

As funções exponenciais são aquelas em que a variável se encontra no expoente. A lei de formação de uma função exponencial é dada por:

f(x) = aˣ ; 0 < a ≠ 1

Em que:

a é a base da função exponencial.

A população do país 6 anos ( t=6 ) após ela ter sido de 200.000 habitantes (Po) será igual a:

$P(t) = P_{o} \cdot e^{0,03t} \\\\P(6) = 200.000 \cdot e^{0,03 \cdot 6} \\\\P(6) = 200.00 \cdot e^{0,18} \\\\$

Aplicando o logaritmo de base 10 em ambos os lados da igualdade:

$P(6) = 200.00 \cdot e^{0,18} \\\\ log(P(6)) = log(200.00 \cdot e^{0,18}) \\\\log(P(6)) = log(200.000) + log(e^{0,18}) \\\\log(P(6)) = log(2) + log(100.000) + log(e^{0,18}) \\\\log(P(6)) = log(2) + log(10^{5}) + log(e^{0,18}) \\\\log(P(6)) = log(2) +5 \cdot log(10) +0,18 \cdot log(e) \\\\$

Substituindo os valores do enunciado na igualdade:

$log(P(6)) = log(2) +5 \cdot log(10) +0,18 \cdot log(e) \\\\log(P(6)) = 0,30103 +5 \cdot 1 +0,18 \cdot (0,434294) \\\\log(P(6)) = 5,37920 \\\\10^{5,37920} = P(6) \\\\P(6) = 239.441$