Question

Em um campeonato de futebol, uma vitória corresponde a
3 pontos ganhos, um empate corresponde a 1 ponto ganho
e, em caso de derrota, não há pontuação. Após cinco jogos
disputados nesse campeonato, de quantas maneiras
diferentes um time pode obter exatamente cinco pontos?

Answer 1

Acredite ou não, podemos resolver essa questão, como se fosse uma questão de anagramas, isso mesmo anagramas. Quer saber como? Presta atenção:

As únicas maneiras desse time obter exatamente 5 pontos, em cinco partidas é:
Empatar em todas as partidas, o que somará 5 pontos, pois em cada empate, ganha-se apenas 1 ponto, e temos que 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.
Ganhar uma partida, empatar duas partidas, e perder as outras duas, pois em cada vitória ganha-se 3 pontos, em cada empate, ganha-se 1 ponto, e no caso de derrotas não há pontuação, e temos que 3 + 1 + 1 + 0 + 0 = 5.

Mas agora observemos, que segundo caso, eu posso empatar no primeiro e no segundo jogo, no quarto e segundo, e assim sucessivamente, é aí, que entramos na questão de anagramas, observe:
Nessa parte, consideraremos o seguinte:
Vitória = V
Empate = E
Derrota = D

Notemos, que no uma das possíveis combinações para se conseguir os pontos, é no caso de cinco empates, o que será representado, pela "palavra" EEEEE, que quando formos calcular a quantidade de anagramas, descobriremos, que será apenas 1 pois todas as letras da palavra são iguais.

O outro meio, é com uma vitória, dois empates e duas derrotas, que será representado, pela palavra VEEDD, agora sim, vamos calcular a quantidade possíveis de anagramas dessa "palavra" pois cada posição das letras, vai indicar o resultado da 1ª, 2ª, 3ª, 4ª e 5ª partidas.

Para calcular a quantidade de anagramas dessa palavra, devemos notar que ela possui 5 letras, porém, há repetição de:
Duas letras E;
Duas letras D.
Assim, a quantidade total de anagramas será dada por: $\frac{5!}{2!2!}= \frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot2\cdot1} = 30$. Assim, concluímos que a quantidade total de possibilidades para essas 5 partidas nesse caso, é 30. 

Agora, basta somar, a quantidade de possibilidades da 1ª forma, com o total de possibilidades da 2ª forma. Logo, 30 + 1 = 31, é a quantidade total de maneiras diferentes de um time obter exatamente cinco pontos, e 5 partidas.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! ;-)