Question

Em um bairro há uma linha férrea escrita pela equação y-x-1=0 e um hospital localizado na coordenada (-2,5), para construir uma estação de forma que a distância de metrô para o hospital seja a menor possível, qual deve ser a coordenada dessa estação e qual a distância para o hospital.

Answer 1

Distância entre ponto e reta :

Equação da reta = y-x-1=0

Ponto do hospital Coordenada = H(-2,5)

a= -1

b= 1

c= -1

Substituindo na fórmula

D = | a(Xh)+b(Yh)+c/ √a²+b²|

D = | -1.(-2) + 1.5 - 1 / √(-1)²+1²|

D = | 2+5-1 / √2|

D = | 6.√2/2|

D = | 3√2|

A distância é de 3√2  

Para achar a coordenada, temos que achar o ponto de intersecção dessa reta que vai da linha férrea até o hospital.

o coeficiente angular da reta da distância até o hospital vale -1  sobre o coeficiente angular da reta da linha férrea.

ah= -1 / af

ah = -1/1

y-y0 = a(x-x0)

y-5= -1(x-2)

y-5= -x + 2

y = 7-x

Intersecção das retas h e f

y= x + 1 ( forma reduzida de  y-x-1=0)

7- x = x + 1

x = 3

y= 3 + 1

y = 4

Portanto a coordenada dessa estação deve ser (3,4) e a menor distância  3√2