Question

em um baile de formatura dos cursos de área civil ciências contábeis e agronomia participavam 15 moças e 10 rapazes o curso de engenharia civil 18 moças e 6 rapazes do curso de ciências contábeis e 12 moças e 18 rapazes do curso de agronomia.De acordo com a informação,determine quantos casais podem ser formados nesse baile?
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Answer 1

o total de moças neste baile são 15+18+12=45 moças.

O total de rapazes são 10+6+18=34 rapazes

Por se tratar de formar casais, será necessário que cada casal tenha 1 homem e 1 mulher. Assim teremos 34 casais.

Podemos calcular as possibilidades de se formar os casais ao fazer o cálculo da combinação.

Comecemos formando os casais par a par

Temos um total de 34 homens e 45 mulheres.

O primeiro casal pode ser formado ao pegar 1 dentre 34 rapazes e também 1 dentre 45 moças.

Assim, para formar apenas 1 casal teremos 34*45=1535 possibilidades.

Se quisermos formar um segundo casal, teremos 33*44 =1452 possibilidades

Então as possibilidades de se formar dois casais será a de pegar qualquer primeiro casal seguido de qualquer segundo casal.

Ou seja, teremos (34*45)*(33*44)

O limite de casais formados será até o último rapaz.

Para o último casal teremos 1 rapaz e 12 possíveis meninas (depois disso sobram 0 rapazes)

Mas note que a ordem não importa. Não importa ser o primeiro ou o segundo casal formado.

Portanto para saber o total de casais sem repetir a contagem é necessário dividir pelo número de repetições.

Para isso usaremos a fórmula binomial.

$\begin{pmatrix}= n\\k\end{pmatrix} =\dfrac{n!} {k! (n-k)!}$

A última observação que podemos fazer a respeito da combinação de casais dada por

(34*45)*(33*44)*(32*43)*... é que podemos separar a seleção de meninos da seleção de meninas:

$(34*45)*(33*44)*(32*43)...=(34*33*32*...3*2*1)*(45*44*43...13*12)$

Então, para os rapazes teremos a seguinte expressão binomial para a escolha de número de casais (k) :

$\begin{pmatrix}= 34\\k\end{pmatrix} =\dfrac{34!} {k! (34-k)!}$

E para as moças teremos a seguinte expressão:

$\begin{pmatrix}= 45\\k\end{pmatrix} =\dfrac{45!} {k! (45-k)!}$

O total de casais possíveis será dado Pela multiplicação dessas duas expressoes:

$\dfrac{34!} {k! (34-k)!}*\dfrac{45!} {k! (45-k)!}$