Question

Em um almoxarifado com 20 peças, 8 apresentam algum tipo de defeito. Observando-se 5 peças (com reposição) qual a probabilidade de obtermos:

a) 3 peças defeituosas?
b) No máximo 2 peças defeituosas?
c) No mínimo 3 peças defeituosas?

Answer 1

=> A probabilidade de ser defeituosa é = 8/20 = 2/5

=> A Probabilidade de NÃO ser defeituosa é de = 5/5 - 2/5 = 3/5


Assim


QUESTÃO - a)  3 peças defeituosas?

Note que as 3 peças defeituosas podem sair em várias sequências de saída donde resulta C(5,3) = 5!/3!(5-3)! = 5.4.3!/3!2! = 5.4/2 = 10

Pronto temos a nossa binomial:

P = C(5,3) . (2/5)³ . (3/5)²

P = (10) . (0,064) . (0,36)

P = 10 . 0,02304

P =  0,2304 ...ou 23,04%


QUESTÃO - b)  No máximo 2 peças defeituosas?

....isto implica que é pedida a P(1 defeituosa) + P(2 defeituosas) + P(0 defeituosas)

a probabilidade será dada pela soma do resultado das 3 binomiais:

P(1 defeituosa) = C(5,1) . (2/5)^1 . (3/5)^4

P(2 defeituosas) = C(5,2) . (2/5)² . (3/5)³

P(0 defeituosas) = C(5,5) . (2/5)^0 . (3/5)^5

Para não ficar confuso vamos resolver as binomiais separadamente e depois somar os resultados:

P(1 defeituosa) = C(5,1) . (2/5)^1 . (3/5)^4

P(1 defeituosa) = (5) . (0,4) . (0,1296)

P(1 defeituosa) =  0,2592 ...ou 25,92%

...

P(2 defeituosas) = C(5,2) . (2/5)² . (3/5)³

P(2 defeituosas) = (10) . (0,16) . (0,216)

P(2 defeituosas) =  0,3456 ...ou 34,56%
.......

P(0 defeituosas) = C(5,5) . (2/5)^0 . (3/5)^5

P(0 defeituosas) = (1) . (1) .  0,07776


Assim a probabilidade P(0 ≤ defeituosas ≤ 2) será dado por

P(0 ≤ defeituosas ≤ 2) = P(1 defeituosa) + P(2 defeituosas) + P(0 defeituosas)

P(0 ≤ defeituosas ≤ 2) = 0,2592 + 0,3456 + 0,07776

P(0 ≤ defeituosas ≤ 2) =   0,68256 ...ou 68,26%


QUESTÃO - c) No mínimo 3 peças defeituosas?

....isto implica que é pedida a P(3 defeituosas) + P(4 defeituosas) + P(5 defeituosas ...ou seja a P(3 ≤ defeituosas ≤ 5)

a probabilidade será dada pela soma do resultado das 3 binomiais:

P(3 defeituosas) = C(5,3) . (2/5)³ . (3/5)²

P(4 defeituosas) = C(5,4) . (2/5)^4 . (3/5)^1

P(5 defeituosas) = C(5,5) . (2/5)^5 . (3/5)^0

Resolvendo separadamente as binomiais

P(3 defeituosas) = 10 . 0,02304

P(3 defeituosas) =  0,02304 ...ou 23,04% (como já tinhamos calculado em (a))

...

P(4 defeituosas) = C(5,4) . (2/5)^4 . (3/5)^1

P(4 defeituosas) = 5 . 0,01536

P(4 defeituosas) =  0,0768 ...ou 7,68%

...

P(5 defeituosas) = C(5,5) . (2/5)^5 . (3/5)^0

P(5 defeituosas) = (1) . (0,01024) . (1)

P(5 defeituosas) = 0,01024 ....ou 1,02%


Assim a probabilidade P(3 ≤ defeituosas ≤ 5), será dada por:


P(3 ≤ defeituosas ≤ 5) = 0,02304 + 0,0768 + 0,01024

P(3 ≤ defeituosas ≤ 5) =  0,31744 ...ou 31,74%


Espero ter ajudado