Question

Em todo triângulo retângulo com um ângulo de 30°, há um cateto que corresponde à metade da hipotenusa. Explique.​

Answer 1

No triangulo retângulo, temos uma hipotenusa e dois catetos.

Quando, nesse triangulo, temos a informação de um dos seus ângulos (além do angulo reto), podemos classificar os catetos de acordo com sua posição relativa a esse angulo.

O cateto diretamente oposto ao angulo conhecido será chamado de cateto oposto, já o outro, que está próximo ao angulo conhecido, será chamado de cateto adjacente.

Ainda, quando dispomos da informação desse angulo, podemos utilizar três relações: seno, cosseno e tangente.

$sen(\theta)~=~~ \frac{cateto~oposto}{hipotenusa}\\\\\\cos(\theta)~=~~ \frac{cateto~adjacente}{hipotenusa}\\\\\\tg(\theta)~=~~ \frac{cateto~oposto}{cateto~adjacente}$

Perceba que seno e cosseno relacionam catetos a hipotenusa.

Vamos então substituir nessas relações a informação que o enunciado nos dá:

$sen(30^\circ)~=~\frac{cateto~oposto}{hipotenusa}\\\\\\\frac{1}{2}~=~\frac{cateto~oposto}{hipotenusa}\\\\\\\boxed{cateto~oposto~=~\frac{hipotenusa}{2}}\\\\\\\\cos(30^\circ)~=~\frac{cateto~adjacente}{hipotenusa}\\\\\\\frac{\sqrt{3}}{2}~=~\frac{cateto~adjacente}{hipotenusa}\\\\\\\boxed{cateto~adjacente~=~\frac{\sqrt{3}~.~hipotenusa}{2}}$

Como podemos ver na relação do seno, o cateto oposto a um angulo de 30° sempre terá medida igual a metade da medida da hipotenusa.