Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A x (2,7) kt, onde A é a massa inicial
e k é uma constante negativa.
Considere 0,3 como aproximação para log 2.
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?
A) 27
B) 36
C) 50
D) 54
E) 100
Soluções para a tarefa
De acordo com o enunciado do exercício, sabemos que a meia-vida do césio-137 é de 30 anos. Aplicando esse valor à expressão M(t) = A · (2,7)kt, podemos substituir o tempo t por 30 e a massa A, quando t = 30, por A/2:
M(t) = A · (2,7)kt
A = A · (2,7)k.30
2
(2,7)30.k = 1
2
(2,7)30.k = 2 – 1
Agora basta aplicar logaritmo de base 10 em ambos os lados da equação:
log (2,7)30.k = log 2 – 1
30k. log 2,7 = – 1. log 2
Como log10 2 = 0,3:
30k. log 2,7 = – 1. 0,3
30k. log 2,7 = – 0,3
log 2,7 = – 0,3
30k
log 2,7 = – 0,01 (*)
k
Reserve a equação (*), logo mais ela nos será necessária. Você se lembra de que a pergunta do exercício era “Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?”. Pois bem, precisamos descobrir em quanto tempo a massa será apenas 10% da massa inicial, ou seja, 0,1A. Assim sendo:
0,1A = A · (2,7)kt
(2,7)kt = 0,1
Aplicando logaritmos em ambos os lados da igualdade, teremos:
log (2,7)kt = log 0,1
kt. log 2,7 = – 1
Mas pela equação (*), podemos substituir log 2,7:
kt. log 2,7 = – 1
kt. (– 0,01) = – 1
k
– 0,01t = – 1
t = 1
0,01
t = 100
Portanto, em 100 anos, a massa do césio-37 será reduzida para 10¢ da quantidade inicial. A alternativa correta é a letra e.