Question

Em Serra Negra do Norte, um fabricante vende bonés por R$ 6 cada e, a esse preço, os consumidores vêm comprando 6.000 bonés por mês. O fabricante gostaria de aumentar o preço e estima que para cada real de aumento no preço, 200 bonés a menos serão vendidos a cada mês. O fabricante pode produzir os bonés a um custo de R$ 4 cada. A que preço o fabricante deve vender os bonés para gerar o maior lucro possível?


A- R$16,89

B- R$18,20

C- R$15,00

D- R$17,99

E- R$13,50

Answer 1

O fabricante deve vender os bonés a R$20,00 para obter o maior lucro (Sem alternativa).

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Maximização da função receita

Seja p o preço de venda do boné. De acordo com o que foi dito no enunciado:

p       ║        Qtd. vendida

6                         6000

7                         5800

8                         5600

...

Ou seja, temos uma relação linear entre o preço de venda de cada boné e a quantidade de bonés vendida mensalmente. Assim sendo, podemos encontrar a quantidade vendida (f(p)) em função do preço p. Lembrando da equação reduzida da reta:

f(p) = mp + n

Encontrando o coeficiente angular m:

m = (5800 - 6000)/(7 - 6) = -200

Assim,

f(p) = -200p + n

Substituindo o ponto (6, 6000):

6000 = -200*6 + n

n = 7200

Logo, f(p) = -200p + 7200.

Podemos agora escrever a função para a receita:

R(p) = Qtd. vendida * preço

R(p) = (-200p + 7200) * p

R(p) = -200p² + 7200p

Para a despesa:

D(p) =  Qtd. produzida * preço

D(p) =  (-200p + 7200) * 4

D(p) =  -800p + 28800

Para o lucro:

L(p) = R(p) - D(p)

L(p) = -200p² + 7200p - (-800p + 28800)

L(p) = -200p² + 8000p - 28800

Derivando e igualando a zero:

L'(p) = 0

-400p + 8000 = 0

p = 20

O fabricante deve vender os bonés a R$20,00 para obter o maior lucro (Sem alternativa).

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