Question

Em relação ao estudo dos limites e limites fundamentais, analise as afirmativas seguintes:
Alternativas
Alternativa 1:
I e II, apenas.

Alternativa 2:
II e III, apenas.

Alternativa 3:
I, II e III, apenas.

Alternativa 4:
II, III e IV, apenas.

Alternativa 5:
I, II, III e IV.

Answer 1

Vamos resolver cada um dos limites.

I. Sabemos que $\lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x} = 1$ (Limite Fundamental Trigonométrico).

Portanto,

$\lim_{x \to 0} \frac{sen(5x)}{x} = 5$.

A afirmativa está correta.

II. Como temos uma indeterminação, podemos utilizar a regra de L'Hôpital.

Sendo assim,

$\lim_{x \to 0} \frac{3^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} 3^x.ln(3) = ln(3)$.

A afirmativa está correta.

III. Da mesma forma, utilizando a regra de L'Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^7 - 1}{x} = \lim_{x \to 0} 7(x+1)^6 = 7$.

A afirmativa está correta.

IV. Perceba que x² - 6x + 9 = (x - 3)². Além disso, temos que x² - 9 = (x - 3)(x + 3).

Assim,

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-6x+9}{x^2-9} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x+3} = 0$.

A afirmativa está errada.

Portanto, a alternativa correta é a Alternativa 3.