Question

Em relação ao desenvolvimento de (x^2 - 2/x )^10 calcule:
a) O terceiro termo
b) A soma dos coeficientes
c) O termo independente de x
d) O termo médio

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Para resolver essas questões vamos usar essas duas fórmulas que são bem iguais:

$\begin{cases} \boxed{\boxed{(a + b) {}^{n} = \sum^{n}_{p=0}\binom{n}{p}a^{n-p}\cdot b^{p}}} \\ \\ \\\ \boxed{\boxed{T_{p+1} = \binom{n}{p}a^{n-p}\cdot b^{p}}}\end{cases}$

n → representa o expoente do binômio;

p → representa a "posição";

a → primeiro número do binômio:

b → segundo número do binômio.

Para calcular os valores dos números binomiais, usamos essa fórmula:

$\boxed{ \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n - p)!} }$

Vamos começar os cálculos:

Item a)

A questão informa que ela quer o terceiro termo, então é mais interessante usarmos a segunda fórmula.

Temos que o valor da posição desse termo, então vamos substituir na expressão P+1.

P + 1 = 3

P = 3 - 1

P = 2

Substituindo na fórmula:

$T_{p+1} = \binom{n}{p} .a {}^{n - p} .b {}^{p} \\ \\ T_ 3 = \binom{10}{2} .(x {}^{2} ) {}^{10- 2} .( - \frac{2}{x} ) {}^{2} \\ \\ T_3 = \frac{10!}{2!(10 - 2)!} .(x {}^{2}) {}^{8} . \frac{4}{x {}^{2} } \\ \\ T_3 = \frac{10!}{2!8!} .x {}^{16} . \frac{4}{x {}^{2} } \\ \\ T_3 = \frac{10.9. \cancel8 !}{2.1. \cancel8!} . \frac{4x {}^{16} }{x {}^{2} } \\ \\ T_3 = \frac{90}{2} .4x {}^{16 - 2} \\ \\ T_3 = 45.4x {}^{14} \\ \\ \boxed{T_3 = 180x {}^{14} }$

Item b)

Para calcular o item b) vamos usar a primeira fórmula.

Note que temos apenas o número (-2) que influencia a multiplicação, portanto ele que vamos colocar na fórmula.

Note também que ele representa a letra "b", ou seja, o expoente de b cresce de 0 até o expoente do binômio, que no caso é 10.

$(a + b) {}^{n} = \sum^{n}_{p=0}\binom{n}{p}a^{n-p}\cdot b^{p} \\ \\ (x {}^{2} - \frac{2}{x} ) {}^{10} = \binom{10}{0} .( 2) {} ^{0} - \binom{10}{1} .( 2) {}^{1} + \binom{10}{2} .( 2) {}^{2} - \binom{10}{3} .( 2) {}^{3} + \binom{10}{4} .( 2) {}^{4} - \binom{10}{5} .( 2) {}^{5} + \binom{10}{6} .( 2) {}^{6} - \binom{10}{7} .( 2) {}^{7} + \binom{10}{8} .( 2) {}^{8} - \binom{10}{9} .( 2) {}^{9} + \binom{10}{10} .( 2) {}^{10} \\ \\ (x {}^{2} - \frac{2}{x} ) {}^{10} = 1.1 - 10.( 2) + 45.4 - 120. ( 8) + 210.(16) - 252.( 32) + 210.(64) - 120.128 + 45.256 - 10.512 + 1.1024 \\ \\ (x {}^{2} - \frac{2}{x} ) {}^{10} = 1 - 20 + 180 - 960 + 3360 - 8064 + 13440 - 15360 + 11520 - 5120 + 1024 \\ \\ (x {}^{2} - \frac{2}{x} ) {}^{10} = 29525 - 29524 \\ \\ \boxed{ (x {}^{2} - \frac{2}{x} ) {}^{10} = 1}$

Temos que a soma dos coeficientes é igual a 1.

Item c)

Nessa não sabemos o valor de "p", vamos substituir os dados mesmo assim:

$T_{p+1} = \binom{n}{p}.a {}^{n - p} .b {}^{p} \\ \\ T_{p+1} = \binom{10}{p} .(x {}^{2} ) {}^{10 - p} .( - \frac{2}{x} ) {}^{p} \\ \\ T_{p+1} = \binom{10}{p} .(x) {}^{20 - 2p} .( - \frac{2}{x} ) {}^{p}$

Como a questão quer o termo independente ele deve ter o expoente igual a 0, então vamos igualar o expoente de x a 0.

20 - 2p = 0

-2p = -20.(-1)

2p = 20

p = 20/2

p = 10

Substituindo:

$T_{0} = \binom{10}{10} .(x) ^{20 - 2.10} .( - \frac{2}{x} ) {}^{10} \\ \\ T_0 = 1.x {}^{20 - 20} . \frac{1024}{x {}^{10} } \\ \\ T_0 = 1.x {}^{0} . \frac{1024}{x {}^{10} } \\ \\ \boxed{T_0 = \frac{1024}{x {}^{10} } }$

Item d)

O termo médio é o termo do meio, como o nosso expoente é 10 e é par, quer dizer que há 10 termos, então vamos dividir essa quantidade por 2 somar mais 1 para achar o termo do meio.

10÷2 = 5 + 1 = 6

Portanto o termo do meio é o sexto termo.

Substituindo na expressão P + 1:

P + 1 = 6

P = 6 - 1

P = 5

Substituindo na fórmula:

$T_{p+1} = \binom{n}{p} .(a) {}^{n - p} .(b) {}^{p} \\ \\ T_6 = \binom{10}{5} .({x}^{2} ) {}^{10 - 5} .( - \frac{2}{x} ) {}^{5} \\ \\ T_6 = 252.(x {}^{2} ) {}^{5} . - \frac{32}{x {}^{5} } \\ \\ T_6= 252.x {}^{10} . - \frac{32}{x {}^{5} } \\ \\ T_ 6= \frac{252. - 32x {}^{10} }{x {}^{5} } \\ \\ T_6 = - 8064x {}^{10 - 5} \\ \\ \boxed{T_6 = - 8064x {}^{5} }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️