Matemática, perguntado por sarah6074, 10 meses atrás

Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24, …), determine o 24º termo. Qual a alternativa correta?

A)24
B)171
C)150
D)168

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (10, 17, 24,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:10

c)vigésimo quarto termo (a₂₄): ?

d)número de termos (n): 24

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 24ª), equivalente ao número de termos.

e)Embora não se saiba o valor do vigésimo quarto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 17 - 10 ⇒

r = 7 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo quarto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₂₄ = 10 + (24 - 1) . (7) ⇒

a₂₄ = 10 + (23) . (7) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₂₄ = 10 + 161 ⇒

a₂₄ = 171

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O vigésimo quarto termo da P.A.(10, 17, 24,...) é 171. (ALTERNATIVA B.)

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₂₄ = 171 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo quarto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

171 = a₁ + (24 - 1) . (7) ⇒

171 = a₁ + (23) . (7) ⇒

171 = a₁ + 161 ⇒

171 - 161 = a₁ ⇒

10 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 10 (Provado que a₂₄ = 171.)

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