Question

em relação a funcao f(x,y) = xy-x^2-y^2-2x-2y+4 podemos afirmar que:

não possui pontos criticos,
apresenta em -2, -2, um ponto maximo de local,
apresenta em -2,-2 um ponto minimo de local,
apresenta 0, -2 um ponto de sela
apresenta -2, -2 um ponto de sela

Answer 1

Aplicando as derivadas parciais e analisando o hessiano temos que o ponto (-2, -2) é um ponto de máximo local.

Derivadas Parciais - Pontos Críticos

Para calcularmos os pontos críticos de uma função à duas variáveis f(x,y) devemos obter o nosso vetor gradiente formado pelas derivadas parciais em relação a x e em relação a y.

$\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$

Em em seguida igual este vetor gradiente ao vetor nulo.

Dada a função f(x,y) = xy - x² - y² - 2x - 2y + 4 vamos obter as derivadas parciais em relação a x e y e em seguida nosso vetor gradiente.

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=y-2x-2\\\\\dfrac{\partial f}{\partial y}=x-2y-2\\\\\nabla f(x,y)=(y-2x-2, x-2y-2)$

Igualando o vetor gradiente ao vetor nulo obtemos:

$\begin{cases}y-2x=2\\-2y+x=2\end{cases}$

Resolvendo o sistema multiplicando a primeira equação por 2 e somando-as teremos:

$-3x=6\\\\x=-2 \ e \ y=-2$

Assim, obtemos o ponto crítico $C(-2,-2)$, basta identificar se este ponto é de máximo, mínimo ou sela. E para esta análise vamos aplicar o Hessiano que é definido pelo determinante formado pela derivadas parciais de segunda ordem.

$H(x,y)=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2}{\partial y \partial x}\\\dfrac{\partial^2f}{\partial x \partial y} & \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}\end{vmatrix}\\\\H(x,y) > 0\Rightarrow \begin{cases}\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y) > 0\rightarrow Minimo\\\\\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y) < 0\rightarrow Maximo\\\end{cases}\\\\H(x,y) < 0\Rightarrow Sela\\\\H(x,y)=0\Rightarrow N.P.A.$

Calculando o Hessiano temos:

$H(x)=\begin{vmatrix}-2 & 1\\1 & -2\end{vmatrix}=3 > 0$

E como $\partial x^2}(x,y) =-2 < 0$, o ponto crítico é um ponto de máximo local.

Para saber mais sobre Derivadas Parciais acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/25301148

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