Question

Em relação à elipse de equação x² + 2y² = 4, assinale a alternativa falsa: 


Seu eixo maior mede 4.

Sua excentricidade é: 1.

Sua distância focal mede 2√2

Seu eixo menor mede 2√2

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Answer 1

Temos a seguinte equação elíptica:

$\sf x {}^{2} + 2y {}^{2} = 4$

Note que essa equação está em sua forma geral, mas para encontrar as informações que a questão pede teremos que fazer a conversão de geral para reduzida, para isso basta você passar o número "4" dividindo toda a equação, inclusive ele mesmo.

$\sf \frac{x {}^{2} }{4} + \frac{2y {}^{2} }{4} = \frac{4}{4} \longrightarrow \boxed{\sf \frac{x {}^{2} }{4} + \frac{y {}^{2} }{2} = 1}$

Chegamos então a sua forma reduzida.

• Observe que o sobre o x² está o maior número, ou seja, essa equação pode ser comparada a:

$\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1$

Portanto vamos fazer as comparações:

$\sf \begin{cases} \sf a {}^{2} = 4 \\ \sf a = \sqrt{4} \\ \sf a = 2 \end{cases} \begin{cases} \sf b {}^{2} = 2 \\ \sf b = \sqrt{2} \end{cases}$

Para encontrar o valor do foco (c) vamos usar a relação de Pitágoras:

$\sf a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 2 {}^{2} = ( \sqrt{2} ) {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 4 = 2 + c {}^{2} \\ \sf c {}^{2} = 4 - 2 \\ \sf c {}^{2} = 2 \\ \sf c = \sqrt{2}$

Por fim vamos calcular a excentricidade:

$\sf e = \frac{c}{a} \Longrightarrow e = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Agora vamos analisar os itens da questão:

• a) Seu eixo maior mede 4. (✓)

Essa afirmação está correta, pois pelos nossos cálculos observamos que a medida "a" é igual a 2 e sabemos que a medida do eixo maior é dada por "2a", portanto: (2a = 2.2 = 4).

• b) Sua excentricidade é 1. (X)

Pelos nossos cálculos a excentricidade é igual a √2/2, portanto essa afirmação é falsa.

• c) Sua distância focal mede 2√2. (✓)

Do mesmo jeito que o eixo maior é igual a "2a" a distância focal é dada por "2c" e pelos cálculos vimos que a medida de "c" é igual a √2, portanto: (2c = 2√2), ou seja, afirmação correta.

• d) Seu eixo menor mede 2√2. (✓)

O eixo menor possui a mesma medida da distância focal, já que a medida de "b" é √2 e o eixo maior é encontrado através de "2b", portanto essa afirmação está correta.

Espero ter ajudado