Question

em R,qual é a solução da inequação |2x-1|<3?​

Answer 1

Para x nos reais, inequações envolvendo módulos são separadas em duas inequações por módulo, uma vez que

$|x| < c \implies x \in [-c, c]$

$\displaystyle |x| < c \implies \left \{ {{x>-c} \atop {x< c}} \right.$

E x deve comprir ambas as inequações. Normalmente contraímos a notação para uma única linha, em que as operações ocorrem simultâneamente nas duas inequações, obtendo

$-c < x < c$

Um exemplo de operação simultânea é quando x está sendo multiplicado, se a > 0, então

$|ax| < c \implies -c < ax < c \implies \dfrac{-c}{a}<x < \dfrac{c}{a}$

O que estamos fazendo realmente é operando nas duas inequações obtidas pelo módulo, mas de uma vez só

$|ax| < c \implies \displaystyle\left \{ {{ax > -c \implies x >\frac{-c}{a}} \atop {ax < c \implies x <\frac{c}{a}}} \right. \implies \frac{-c}{a} < x < \frac{c}{a}$

Sabendo disso, vamos resolver nosso exercício. Qual o conjunto solução de

$|2x-1| < 3$

Sabemos que podemos nos desfazer do módulo criando 2 inequações dadas por

$-3 < 2x-1 < 3$

Somando 1 em todos os termos das inequações obteremos

$-3+1 < 2x-1+1 < 3+1 \iff -2<2x<4$

Agora podemos dividir por 2, obtendo

$\dfrac{-2}{2} < x < \dfrac{4}{2} \iff -1<x<2$

Portanto, o conjunto solução se dá por

$S = \{ x\in\mathbb{R} \, : \, -1<x<2\}$

Answer 2

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Propriedades das desigualdes envolvendo módulo

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf 1^{\underline a} |x|>a\Longleftrightarrow x>a~ou~x<-a\\\sf 2^{\underline a}|x|\geq a\Longleftrightarrow x\geq a~ou~x\leq -a\\\sf 3^{\underline a}|x|<a\Longleftrightarrow-a<x<a\\\sf 4^{\underline a}|x|\leq a\Longleftrightarrow -a\leq x\leq a\end{array}}$

$\sf|2x-1|<3\\\sf -3<2x-1<3\\\sf -3+1<2x-\diagup\!\!\!1+\diagup\!\!\!1<3+1\\\sf-2<2x<4 \\\sf-\dfrac{2}{2}<\dfrac{2x}{2}<\dfrac{4}{2}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf-1<x<2}}}}\blue{\checkmark}$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf S=\{x\in\mathbb{R}/-1<x<2\}}}}}\blue{\checkmark}$