Question

Em R, o conjunto solução da equação √√x²+5+1=x é:


OBS: Anexei uma foto como exemplo.

A primeira raiz quadrada engloba a raiz quadrada de x²`+5 e o 1 também, porém, o 1 se encontra fora da raiz de x²+5.

Já fiz essa questão, minha dúvida principal é um detalhe no quesito ao conjunto solução.

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Answer 1

S = {2}

Explicação passo-a-passo:

√√x² + 5 + 1 = x

(√√x² + 5 + 1)² = (x)²

√x² + 5 + 1 = x²

√x² + 5 = x² - 1

(√x² + 5)² = (x² - 1)²

x² + 5 = x⁴ - 2x² + 1

x⁴ - 2x² + 1 - x² - 5 = 0

x⁴ - 3x² - 4 = 0

Fazendo:

x⁴ = y²

x² = y

Temos:

y² - 3y - 4 = 0

a = 1

b = - 3

c = - 4

∆ = b² - 4ac

∆ = (-3)² - 4.1.(-4)

∆ = 9 + 16

∆ = 25

y = - b ± √∆/2a

y = - (-3) ± √25/2.1

y = 3 ± 5/2

y' = 3+5/2 = 8/2 = 4

y" = 3-5/2 = - 2/2 = - 1

y = 4

y = - 1

Devolva a substituição x² = y e resolva:

x² = 4

x = √4

x = ± 2

x² = - 1

x = √-1

Não perctence aos reais

Portanto temos que x∈R / ± 2

x = 2

x = - 2

Verificação:

X = 2

√√(2)² + 5 + 1 = (2)

√√4 + 5 + 1 = 2

√√9 + 1 = 2

√3 + 1 = 2

√4 = 2 ==> Ok

X = - 2

√√(-2)² + 5 + 1 = (-2)

√√4 + 5 + 1 = - 2

√√9 + 1 = - 2

√3 + 1 = - 2

√4 = - 2 ==> Falso

Portanto:

x = 2 (é uma solução)

x = - 2 (não é uma solução)

S = {2}

Answer 2

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$\Large\boxed{\sf{\underline{Equac_{\!\!,}\tilde{o}es~Irracionais}}}$

$\tt{s\tilde{a}o~equac_{\!\!,}\tilde{o}es~onde~a~vari\acute{a}vel~est\acute{a}~no~radicando.}\\\tt{A~soluc_{\!\!,}\tilde{a}o~consiste~em~elevar~os~dois~membros~da~igualdade}\\\tt{a~uma~pot\hat{e}ncia~conveniente.}\\\tt{Contudo~ra\acute{i}zes~estranhas~podem~aparecer~e~por~esse~motivo}\\\tt{\acute{e}~necess\acute{a}rio~fazer~a~verificac_{\!\!,}\tilde{a}o~dos~valores~obtidos.}$

$\sf{\sqrt{\sqrt{x^2+5}+1}=x}\\\rm{quadrando~os~dois~membros~temos:}\\\sf{(\sqrt{\sqrt{x^2+5}+1})^2=(x)^2}\\\sf{\sqrt{x^2+5}+1=x^2}\\\sf{\sqrt{x^2+5}=x^2-1}\\\rm{quadrando~novamente~temos:}\\\sf{(\sqrt{x^2+5})^2=(x^2-1)^2}\\\sf{x^2+5=x^4-2x^2+1}\\\sf{x^4-2x^2-x^2+1-5}\\\sf{x^4-3x^2-4=0}\\\sf{(x^2)^2-3x^2-4=0}\\\sf{fac_{\!\!,}a~x^2=y}$

$\sf{y^2-3y-4=0}\\\sf{\Delta=9+16=25}\\\sf{y=\dfrac{3\pm5}{2}}\begin{cases}\sf{y_1=4}\\\sf{y_2=\diagup\!\!\!\!\!\!\!\diagdown\!\!\!\!\!\!-1}\end{cases}$

$\sf{x^2=y}\\\sf{x^2=4}\\\sf{x=\pm\sqrt{4}}\\\sf{x=\pm2}$

$\Large\sf{\underline{Verificac_{\!\!,}\tilde{a}o:}}\\\sf{para~x=2:}\\\sf{\sqrt{\sqrt{2^2+5}+1}=\sqrt{\sqrt{4+5}+1}=\sqrt{\sqrt{9}+1}=\sqrt{3+1}}\\\sf{=\sqrt{4}=2\checkmark}\\\sf{para~x=-2}\\\sf{\sqrt{\sqrt{(-2)^2+5}+1}=\sqrt{\sqrt{4+5}+1}}\\\sf{\sqrt{\sqrt{9}+1}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\ne-2}\\\sf{portanto~somente~x=2~satisfaz~a~equac_{\!\!,}\tilde{a}o}\\\sf{s=\{2\}}$