Question

Em que pontos o gráfico da função y= 1/3x^3-3/2x^2+2x tem tangente horizontal
HELLLP GALERA !

Answer 1

Seja a função $f(x)$ assim definida:

$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x.$

Encontremos os pontos do gráfico de $f$ para os quais a reta tangente a ele seja horizontal.

Ora, sabemos que a inclinação da reta tangente a uma curva num ponto é o valor da derivada da curva naquele ponto. Retas horizontais têm inclinação nula.

Assim:

$\frac{df}{dx} = 0\\\\\Longleftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0\\\\\Longleftrightarrow (x-1)(x-2) = 0\\\\\Longleftrightarrow x = 1\,\,\,ou\,\,\,x =2.$

Os pontos procurados são $\left(1, f(1) \right)$ e $\left( 2, f(2) \right).$

Calculemos suas ordenadas:

$f(1) = \frac{1}{3}\cdot 1^3 - \frac{3}{2} \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = \frac{5}{6};\\\\f(2) = \frac{1}{3}\cdot 2^3 - \frac{3}{2} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = \frac{2}{3}.$

Resposta:

$\boxed{S = \left\{\left( 1, \frac{5}{6} \right), \left( 2, \frac{2}{3} \right) \right\}.}$