Question

Em que ponto a reta que passa por A = (2, 3, 4) e B = (0, 1, −2) intercepta o plano xOy?

Answer 1

Resposta:

Vetor direcional

AB=(2-0, 3-1, 4+2)=(2,2,6)

Equação Vetorial da reta

(x,y,z)=(2,3,4)+t*(1,2,6)     ....t ∈ Reais

para z=0   ==>0=4+6t==> t=-4/6=-2/3

(x,y,0)=(2-2/3 ,   3 -4/3 ,0) = (4/3  , 5/3 , 0) é o ponto

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ponto de interseção entre a reta "r" e o plano xOy é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I = \Bigg(\frac{2}{3},\:\frac{5}{3},\:0\Bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:

            $\Large\begin{cases} A = (2, 3, 4)\\B = (0, 1, -2)\end{cases}$

Montando a equação vetorial da reta "r" que passa pelos pontos "A" e "B", temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \overrightarrow{AP} = \lambda\overrightarrow{AB}\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} P - A = \lambda(B - A)\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = A + \lambda(B - A),\:\:\:\lambda\in\mathbb{R}\:\:\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}\end{gathered}$

Então, temos:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x, y, z) = (2, 3, 4) + \lambda\left[(0, 1, -2) - (2, 3, 4)\right]\end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x, y, z) = (2, 3, 4) + \lambda\left[\right0 - 2, 1 - 3, -2 - 4]\end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x, y, z) = (2, 3, 4) + \lambda\left[-2, -2, -6\right]\end{gathered}$

Portanto, a equação vetorial da reta é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x, y, z) = (2, 3, 4) + \lambda(-2, -2, -6)\end{gathered}$

Para encontrar o ponto de interseção com o plano xOy, devemos fazer z = 0. Então, temos as seguintes equações paramétricas:

                            $\Large\begin{cases}x = 2 -2\lambda\\ y = 3 - 2\lambda\\0 = 4 - 6\lambda\end{cases}$

Então:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}0 = 4 - 6\lambda\Longrightarrow\lambda = \frac{2}{3} \end{gathered}$              

Então, temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 2 - 2\cdot\frac{2}{3}\Longrightarrow x = \frac{2}{3}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 3 - 2\cdot\frac{2}{3}\Longrightarrow y = \frac{5}{3}\end{gathered}$

✅ Portanto, o ponto é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}I = \Bigg(\frac{2}{3},\:\frac{5}{3},\:0\Bigg) \end{gathered}$  

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